Photocapteur : réponse à un créneau
Partie
Un photocapteur commande l'ouverture ou la fermeture d'un relais. On supposera que le relais a une constante de temps très inférieure à celle du capteur.
Le photocapteur est linéaire et quand l'éclairement passe de \(\mathcal{E}_\mathrm i\) à \(\mathcal{E}_\mathrm F\) le courant débité suit la loi :
\(\mathrm I_\mathrm F-\mathrm I(t)=(\mathrm I_\mathrm F-\mathrm I_\mathrm i)\mathrm e^{{-t}/{\lambda}}\)
Question
A \(t=0\) l'éclairement passe brutalement de l'obscurité (\(\mathrm I_\mathrm i=0\)) à une valeur \(\mathcal{E}_\mathrm F\) pour laquelle \(\mathrm I_\mathrm F=\mathrm{1 mA}\). Le relais se déclenche quand le courant atteint \(\mathrm{0,95 mA}\). Au bout de combien de temps se déclenchera le relais ?
Aide simple
\(i(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}\) + solution particulière de l'équation complète
Aide détaillée
Un créneau est le passage brutal d'une valeur constante à une autre
Solution simple
\(\mathrm t\approx3\)
Solution détaillée
Puisque le capteur est linéaire, il a une sensibilité \(\sigma=\mathrm{cste}\), et sa réponse à un éclairement E est : \(\mathrm I=\sigma.\mathcal E\). le relais se déclenche pour \(\mathrm{I = 0,95 mA}\). Puisque \(\mathrm I_\mathrm f=\mathrm{1 mA}\) et \(\mathrm I_\mathrm i=\mathrm{0 mA}\), comme \(\mathrm I_\mathrm f-\mathrm I(t)=(\mathrm I_\mathrm f-\mathrm I_\mathrm i)\mathrm e^{-t/\lambda}\), le déclenchement correspond à \(\mathrm e^{-t/\lambda}=\mathrm{0,05}\), soit \(\mathrm t\approx3\lambda\)
Question
On superpose un éclairement ambiant \(\mathcal{E}_\mathrm A\) tel que le capteur débite en permanence \(\mathrm I_\mathrm A=\mathrm{0,20 mA}\). L'éclairement passe brutalement de \(\mathcal{E}_\mathrm A\) à \(\mathcal{E}_\mathrm F+\mathcal{E}_\mathrm A\). Au bout de combien de temps se déclenche le relais?
Aide simple
\(i(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}\) + solution particulière de l'équation complète
Aide détaillée
Un créneau est le passage brutal d'une valeur constante à une autre
Solution simple
\(\mathrm t\approx\mathrm{1,4}\)
Solution détaillée
Si \(\mathrm I_\mathrm i=\mathrm I_\mathrm A=\mathrm{0,2 mA}\), alors \(\mathrm I_\mathrm F=1+\mathrm{0,2}=\mathrm{1,2 mA}\)(capteur linéaire) ; le déclenchement correspond à : \(\mathrm{1,2}-\mathrm{0,95}=(\mathrm{1,2}-\mathrm{0,2})\mathrm e^{-t/\lambda}\), soit \(\mathrm e^{-t/\lambda}=\mathrm{0,25}\), d'où : \(\mathrm t\approx\mathrm{1,4}\lambda\). La réponse est plus rapide que dans le cas précédent.
Question
On maintient l'éclairement ambiant \(\mathcal{E}_\mathrm A\) et on excite le capteur avec un créneau d'amplitude \(\mathcal{E}_\mathrm F\) et de période \(\mathrm T=7\lambda\). Le relais se déclenchera-t-il ? Si oui, combien de temps restera-t-il ouvert ?
Aide simple
\(i(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}\) + solution particulière de l'équation complète
Aide détaillée
Un créneau est le passage brutal d'une valeur constante à une autre
Solution simple
\(\Delta\mathrm t\approx\mathrm{2,39 }\lambda\)
Solution détaillée
Si la période du créneau est \(\mathrm T=7\lambda\), la valeur \(\mathrm I_\mathrm M\) de \(\mathrm I\) au bout de la \(\frac12\) période est :
\(\mathrm{1,2}-\mathrm I_\mathrm M=\mathrm e^{-3,5}=\mathrm{0,030}\mathrm I_\mathrm M=\mathrm{1,17 mA \# 1,2 mA}\)
durée \(\Delta\mathrm t\) de l'ouverture :
le relais est ouvert tant que \(\mathrm I\ge\mathrm{0,95 mA}\); il s'ouvre donc au bout de \(\mathrm{1,4}\lambda\)(cf. 3)) ; quand l'intensité diminue (\(\mathrm T/2<\mathrm t<\mathrm T\)), il reste ouvert pendant une durée \(\theta\); d'où : \(\Delta\mathrm t=\mathrm{3,5}\lambda-\mathrm{1,4}\lambda+\theta\)
calcul de \(\theta\) et \(\Delta\mathrm t\):
\(\mathrm{0,2}-\mathrm{0,95}=(\mathrm{0,2}-\mathrm{1,2})\mathrm e^{-\theta/\lambda}\mathrm I_\mathrm i=\mathrm I_\mathrm M\quad\quad \quad\mathrm I_\mathrm f=\mathrm I_\mathrm A\)
\(\mathrm e^{-\theta/\lambda}=\mathrm{0,75}\quad\theta=\mathrm{0,29 }\lambda\quad\quad\Delta\mathrm t\approx\mathrm{2,39 }\lambda\)
(avec \(\mathrm I_\mathrm M=\mathrm{1,17 mA}\quad\quad\quad\mathrm{0,64}\quad\quad\quad\mathrm{0,64}\lambda\quad\quad\quad\mathrm{2,54}\lambda\))
Question
La période du créneau est maintenant de \(2\lambda\) . Mêmes questions qu'en 3.
Aide simple
\(i(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}\) + solution particulière de l'équation complète
Aide détaillée
Un créneau est le passage brutal d'une valeur constante à une autre
Solution simple
le relais ne se déclenche pas
Solution détaillée
Pour \(\mathrm T=2\lambda\), donc \(\mathrm T/2=\lambda\),
\(\mathrm{1,2}-\mathrm I_\lambda=(\mathrm{0,2}-\mathrm{1,2})\mathrm e^{-1}\)
\(\mathrm I_\lambda=\mathrm{1,2}-\mathrm e^{-1}=\mathrm{0,83 mA}<\mathrm{0,95 mA}\); le relais ne se déclenche pas
Question
On excite toujours le capteur avec un créneau d'amplitude \(\mathcal{E}_\mathrm F\). La constante de temps du capteur étant de \(\mathrm{3,5 ms}\), déduire des questions précédentes :
la fréquence maximum du créneau pour que le système se déclenche en l'absence d'éclairement ambiant ;
même question en présence d'éclairement ambiant.
Aide simple
\(i(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}\) + solution particulière de l'équation complète
Aide détaillée
Un créneau est le passage brutal d'une valeur constante à une autre
Solution simple
1. \(\mathcal{E}_\mathrm a=0\): \(\mathrm T_\mathrm{min}=\mathrm{6 }\lambda=\mathrm{21 ms}\), \(\mathrm F<\mathrm{48 Hz}\)
2. \(\mathcal{E}_\mathrm a\ne0\): \(\mathrm T_\mathrm{min}=\mathrm{2,8 }\lambda=\mathrm{9,8 ms}\), \(\mathrm F<\mathrm{102 Hz}\)
Solution détaillée
1. \(\mathcal{E}_\mathrm a=0\): \(\mathrm T_\mathrm{min}=\mathrm{6 }\lambda=\mathrm{21 ms}\), \(\mathrm F<\mathrm{48 Hz}\)
2. \(\mathcal{E}_\mathrm a\ne0\): \(\mathrm T_\mathrm{min}=\mathrm{2,8 }\lambda=\mathrm{9,8 ms}\), \(\mathrm F<\mathrm{102 Hz}\)
avec un éclairement ambiant non nul, la bande passante est plus large