Modélisation
L'hypothèse fondamentale du modèle de la propagation des ondes est que la fréquence des vibrations est "le bon paramètre" de description des phénomènes ...
De façon très générale, la procédure pour représenter une propagation est la suivante :
on exprime la vibration de la source par sa décomposition en fonction de la fréquence,
on exprime la propagation de chacune de ses composantes en fréquence (affectée de son coefficient d'amplitude ou de sa densité d'amplitude)
on exprime la propagation comme la résultante de la propagation de ses composantes.
La linéarité des équations de propagation (qu'il s'agisse, comme on l'a vu, d'onde électromagnétique, d'onde mécanique, ...) autorise ce type de traitement.
Les équations de propagation admettent même que la vitesse de propagation de chacune des composantes harmoniques puisse être fonction de la fréquence : les phénomènes de "dispersion" sont effectivement redevables de cette interprétation.
D'autres phénomènes encore, qui dépendent spécifiquement de la fréquence (par exemple : la réponse des systèmes en fonction de la fréquence d'excitation), rendent incontournable la représentation en fréquence des phénomènes de vibration et de propagation.
Nous étudions maintenant la propagation d'un signal connu par la représentation en fréquence de la vibration source qui donne naissance à cette propagation.
Comme on l'a vu, il y a deux grandes catégories de décomposition en fréquence :
Somme discrète de termes harmoniques.
On rappelle ici que, pour qu'une fonction \(F\) soit périodique, il est nécessaire que les fréquences des harmoniques qui la composent aient un Plus Grand Commun Diviseur. Cette fréquence (PGCD de toutes les fréquences) est alors la fréquence de la combinaison linéaire des harmoniques, i.e. de la fonction \(F\).
Deux cas se présentent donc :
ou bien la fonction \(F\) considérée est périodique, et satisfait les conditions pour déterminer sa Série de Fourier. \(F(t)\) est alors représentable par son spectre de Fourier.
ou bien la fonction \(F\) considérée est une synthèse arbitraire de plusieurs termes dont les fréquences sont quelconques. S'il n'existe pas de PGCD de toutes les fréquences, alors \(F(t)\) n'est pas périodique, mais peut toutefois se représenter par son spectre.
Dans ces deux cas, le spectre est discret et s'exprime (par exemple en notation complexe) par l'ensemble des : \(\{ C_n ~ , ~ \omega_n \}\).
Intégrale de termes harmoniques.
Sous réserve d'existence, on peut calculer la Transformée de Fourier de la fonction \(F\) (non périodique, à support borné et de module carré sommable). \(F(t)\) est alors représentée par son spectre continu : \(f(\omega)\), c'est-à-dire par sa densité d'amplitude en fonction de la pulsation \(\omega\).
Après avoir exprimé cette décomposition, il suffit de savoir si l'onde est dispersive ou non dans le milieu considéré :
Si l'onde n'est pas dispersive, tous les termes (quelle que soit leur fréquence) se propagent à la même vitesse \(V\). La propagation est alors une translation à la vitesse \(V\).
Si l'onde est dispersive, la propagation n'est plus une translation : chaque terme de la décomposition se propage à sa propre vitesse car la vitesse de propagation est fonction de la fréquence.
Dans tous les cas, le vecteur d'onde a un module \(K(\omega)\) qui dépend de \(\omega\) et la vitesse du terme de pulsation \(\omega\) est déterminée par : \(V(\omega) = \frac{\omega}{K(\omega)}\)