Propagation d'un signal représenté par sa transformée de Fourier
Les schémas suivants représentent à trois instants successifs, l'état de vibration d'une corde, après propagation d'une impulsion en créneau carré depuis l'origine (en \(z=0\)).
On peut représenter la vibration de la source par son spectre \(f(\omega)\), soit :
\(\displaystyle{ \psi(z = 0 , t) = F(t) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f(\omega) . \mathrm{e}^{\mathrm{i} . \omega t} . \mathrm{d} \omega \textrm{ o\`u }\mathrm{ } f(\omega) = \frac{1}{2 . \pi} \int_{- \infty}^{+ \infty} F(t) . \mathrm{e}^{- \mathrm{i} . \omega t} . \mathrm{d} t }\)
La propagation de cette vibration s'exprime alors :
\(\displaystyle{ \psi(z , t) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f(\omega) . \mathrm{e}^{\mathrm{i} . [ \omega . t ~ - ~ K(\omega) . z]} . \mathrm{d} \omega}\)
où \(~ V(\omega) = \frac{\omega}{K(\omega)}\) est la vitesse de l'harmonique de pulsation \((\omega)\)
Pour interpréter l'allure de ce phénomène de propagation avec dispersion, il faut utiliser la relation de dispersion de cette onde dans le milieu considéré, qui explicite la façon dont la vitesse de propagation varie avec la fréquence.
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