Suites de nombres réels

Pour les suites qui sont des applications de \(\mathbb N\) vers \(\mathbb R\), ce sont les valeurs prises pour les grandes valeurs de \(n\) qui importent (comportement de \(u_n\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\)), on peut donner à cela deux raisons :

• une raison de caractère pratique : dans le cas des suites qui interviennent dans les problèmes d'approximations, l'approximation est d'autant meilleure que \(n\) est grand;

• une raison de caractère théorique liée au fait que \(\mathbb N\) est un sous-ensemble discret de \(\mathbb R\)

pour tout entier \(n\) il existe un voisinage de \(n\) dans \(\mathbb R\) qui ne contient aucun autre entier (par exemple l'intervalle défini par \(\vert x-n\vert<\frac{1}{2}\)). Un voisinage de \(+\infty\) en revanche contient une infinité d'entiers.

L'objectif de ce paragraphe est de définir les concepts de suite convergente, de limite et de suite divergente. Parmi les suites divergentes on distinguera les suites qui tendent vers \(+\infty\) (ou \(-\infty\)).

Une étape préliminaire va consister à définir la notion de "suite qui converge vers un réel".