Suites convergentes, suites divergentes
Définition :
Soit \((u_n)\) une suite réelle ; on dit que \((u_n)\) est convergente (ou converge) s'il existe un réel \(l\) tel que \((u_n)\) converge vers \(l\).
Sinon \((u_n)\) est divergente (ou diverge).
Une suite convergente est donc caractérisée par la proposition :
\(\displaystyle{\exists l\in\mathbb R,\forall\epsilon>0\quad\exists N\in\mathbb N,\forall n\in\mathbb N}\) \(\displaystyle{(n\geq N\Rightarrow\vert u_n-l\vert<\epsilon)}\)
ainsi les suites \(\displaystyle{\left(\frac{1}{n}\right)_{n\geq 1}}\) et \(\displaystyle\left(\frac{1}{n+(-1)^n\sqrt n}\right)_{n\geq 2}\)
sont convergentes, le réel \(l\) satisfait, pour chacune, à la condition.
Exprimer qu'une suite est divergente revient à exprimer que, pour tout réel, la suite ne converge pas vers ce réel ou encore écrire la négation de la proposition précédente :
\(\displaystyle{\forall l\in\mathbb R,\exists\epsilon>0,\quad\forall N\in\mathbb N,\exists n\in\mathbb N}\) \(\displaystyle{(n\geq N}\) et \(\displaystyle\vert u_n-l\vert\geq \epsilon)\)
ainsi la suite \(\Big((-1)^n\Big)\) est divergente.
En effet : soit \(l\) un réel,
si \(l\neq\pm1\) alors pour \(\displaystyle{\epsilon=\textrm{min}(\vert l-1\vert,\vert l+1\vert)}\) et \(\displaystyle{n=N}\) on a \(\displaystyle{\vert u_{N}-l}\vert\geq \epsilon\).
si \(l=\pm1\) alors pour \(\displaystyle{\epsilon= 1}\) et \(\displaystyle{n=N}\) ou \(\displaystyle{N +1}\) on a \(\displaystyle{\vert u_n-l\vert\geq \epsilon}\).
La nature d'une suite (convergence ou divergence) ne dépend que de son comportement quand \(\displaystyle{n\to+\infty}\) ; on dit encore à partir d'un certain rang. On peut en particulier modifier les termes d'une suite pour un nombre fini d'indices sans en changer la nature.
Proposition :
Toute suite convergente est bornée.
Preuve :
Une valeur déterminée de \(\epsilon\) donne un encadrement de \(\vert u_n\vert\) pour \(n\ge N\). On en déduit une majoration de \(\vert u_n\vert\) pour tout \(n\) .
Soit \((u_n)\) une suite qui converge vers un réel \(l\) .
On prend \(\epsilon= +1\) , il existe \(N(1)\) tel que pour tout \(n\geq N(1)\) on ait \(\vert u_n-l\vert<1\) soit
\(\displaystyle{-1< u_n-l<1}\),
d'où \(\displaystyle{\vert u_n\vert<\vert l\vert+1}\).
En posant alors \(\displaystyle{M=\textrm{max}(\vert u_0\vert,\vert u_1\vert,\cdots,\vert u_{N(1)-1}\vert,\vert l\vert+1)}\), on a \(\displaystyle{\vert u_n\vert\leq M}\).
La réciproque est bien évidemment fausse.
C'est ce que montre l'exemple de la suite \(\Big((-1)^n\Big)\). On utilise cette proposition pour montrer la divergence de certaines suites. Ainsi la suite \(\Big(n^2+1\Big)\) est divergente, il en est de même pour la suite \(\Big(n\sin\frac{n\pi}{2}\Big)\).