Convergence, divergence et suite extraite
De la définition on tire immédiatement la proposition suivante :
Proposition :
Si une suite \((u_n)\) est convergente et a pour limite \(l\), toute suite extraite de \((u_n)\) est convergente et a pour limite \(l\).
Preuve :
La preuve est immédiate.
Exemple :
La suite \(\displaystyle{\left(\frac{1}{n!}\right)}\) qui est extraite de la suite \(\displaystyle{\left(\frac{1}{n}\right)_{n\geq 1}}\) a pour limite \(0\).
Remarque :
La réciproque est fausse : il est bien évident que la convergence d'une suite extraite d'une suite \((u_n)\) n'entraîne pas la convergence de \((u_n)\) . Ainsi la suite \(\displaystyle{\left((-1)^{2n}\right)}\) extraite de la suite \(\displaystyle{\left((-1)^n\right)}\) est convergente tandis que la suite \(((-1)^n)\) est divergente.
Une suite \((u_n)\) est convergente si et seulement si les suites \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) sont convergentes et ont même limite.
Preuve :
Appliquer la définition de la convergence en remarquant que tout entier est pair ou impair.
La partie condition nécessaire est une conséquence directe de la proposition précédente.
Réciproquement, supposons que les suites \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) soient convergentes et aient pour limite \(l\), on pose \(v_n=u_{2n}\) et \(w_n=u_{2n+1}\), on a donc \(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}v_n=\lim_{n\to+\infty}w_n=l}\)
Soit \(\epsilon>0\), il existe \(N_1\) et \(N_2\) tels qu'on ait, pour tout entier \(n\), les implications :
\(\displaystyle{n\geq N_1\Rightarrow\vert v_n-l\vert<\epsilon}\)
\(\displaystyle{n\geq N_2\Rightarrow\vert w_n-l\vert<\epsilon}\)
Notons \(N=\textrm{ max }(2N_1, 2N_2 +1)\); alors pour \(n\geq N\), si \(n\) est pair on a
\(\displaystyle{u_n=v_{\tfrac{n}{2}}}\) avec \(\displaystyle{\frac{n}{2}\geq N}\), d'où \(\displaystyle{\vert u_n-l\vert<\epsilon}\)
si \(n\) est impair
\(\displaystyle{u_n=w_{\tfrac{n-1}{2}}}\) avec \(\displaystyle{\frac{n-1}{2}\geq N}\), d'où \(\displaystyle{\vert u_n-l\vert<\epsilon}\)
On a donc, pour \(\displaystyle{n\geq N,\vert u_n-l\vert<\epsilon}\).
Proposition :
Toute suite extraite d'une suite qui tend vers \(+\infty\) (resp. \(-\infty\)) tend vers \(+\infty\) (resp. \(-\infty\)).
Preuve :
La preuve est immédiate.
Remarque :
La réciproque est fausse comme le montre l'exemple de la suite \(\displaystyle{(n\sin\frac{n\pi}{2})}\) dont la suite extraite \(\displaystyle{(4n+1)\sin(4n+1)\frac{\pi}{2}}\) tend vers \(+\infty\). (On remarque que sur ce point il y a analogie dans le comportement entre suites qui tendent vers \(+\infty\) et suites convergentes : cela conduit à introduire la droite achevée \(\bar{\mathbb{R}}\) soit \(\mathbb R\cup\{+\infty,-\infty\}\), concept qui n'est pas au programme de ce cours).