Exercice 2

Durée : 3 mn

Note maximale : 2

Question

Soit \(u=(u_n)\) une suite telle que : \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=-2}\)

Montrer que : \(\exists n_0\in\mathbb N,~\forall n>n_0 : \left|u_n\right|>1\) .

Solution

\(\forall\epsilon>0,\exists N(\epsilon),\forall n>N(\epsilon) :|u_n+2|<\epsilon\)

ce qui peut s'écrire

\(\forall\epsilon>0,\exists N(\epsilon),\forall n>N(\epsilon) :-2-\epsilon<u_n<-2+\epsilon\)

Prenons \(\epsilon=1\), il existe \(n_0=N(1)\) tel que pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(n_0\) on ait \(u_n<-2+1=-1\). Donc \(u_n\) est négatif et \(|u_n|=-u_n\) et \(|u_n|>1\).

[2 points]