Exercice 3
Durée : 3 mn
Note maximale : 2
Question
Soit \(u=(u_n)\) une suite à valeurs entières, montrer que si \(u\) est convergente, \(u\) est stationnaire.
Solution
La suite \(u\) est convergente, notons \(L\) sa limite :
\(\forall\epsilon>0,\exists N=N(\epsilon),\forall n>N :L-\epsilon<u_n<L+\epsilon\)
Prenons \(\displaystyle{\epsilon=\frac{1}{3}}\), l'intervalle \(]L-\epsilon,L+\epsilon[\) est de longueur inférieure à 1, il contient au plus un entier et il en contient un : \(\displaystyle{u_{N\left(\frac{1}{3}\right)+1}}\).
On en déduit que : \(\displaystyle{\forall n>N\left(\frac{1}{3}\right) : u_n=u_{N\left(\frac{1}{3}\right)}}\) et la suite est stationnaire.
[2 points]