Suites de nombres réels

On montre par récurrence sur \(n\) que la suite est bien définie et que pour tout entier \(n\) , \(u_n>0\).

[1 point]

• Les fonctions carré, logarithme et racine carrée sont croissantes donc \(x\mapsto\sqrt{\ln~(1+x^2)}\) l'est aussi : \(u_{n+1}-u_n\) est du signe de \(u_n-u_{n-1}\) et par récurrence du signe de \(u_1-u_0=\sqrt{\ln~2}-1<0\)

  La suite est donc décroissante.

  [2 points]

• Une suite décroissante minorée est convergente donc \((u_n)\) est convergente.

  [1 point]

• Soit \(L\) sa limite, la fonction \(x\mapsto\sqrt{\ln~(1+x^2)}\) étant continue (composée de fonctions continues), on a , \(L=\sqrt{\ln~(1+L^2)}\) ce qui implique que \(L^2=\ln~(1+L^2)\). Cette équation admet pour racine positive (ou nulle) \(L=0\) et c'est la seule car la fonction \(x\mapsto x-\ln~(1+x)\) est croissante pour \(x>0\).

  [2 points]