Exercice 5
Durée : 10 mn
Note maximale : 7
Question
Etudier la nature de la suite \((u_n)\) définie par la donnée de \(u_0\) et la relation de récurrence, pour tout entier \(n\) positif ou nul \(u_{n+1}=u_n-u_n^2\).
Discuter selon la valeur de \(u_0\).
Solution
La suite est décroissante puisque \(u_n^2\) est positif ou nul.
[1 point]
La fonction \(x\mapsto x-x^2\) a un unique point fixe 0, qui est la seule limite possible de la suite.
[1 point]
Une suite décroissante est convergente ou bien tend vers \(-\infty\).
Si \(u_0<0\), la suite (décroissante) ne peut être convergente vers 0, donc \(u_n\) tend vers \(-\infty\).
[2 points]
Si \(u_0>1\), on a \(u_1<0\) et on est ramené au cas précédent : \(u_n\) tend vers \(-\infty\).
[1 point]
Si \(u_0=0\) ou \(u_0=1\), tous les termes suivants sont nuls et la suite converge vers 0.
[1 point]
Si \(0<u_0<1\) , l'étude de la fonction \(x\mapsto x-x^2\) montre que \(0<u_1<1\), on en déduit par récurrence que \(\forall n\quad0<u_n<1\).
La suite est décroissante, minorée par 0 donc elle converge. La limite est le point fixe de \(x\mapsto x-x^2\) : 0.
[2 points]
Remarque :
Ce n'est pas obligatoire mais ce peut être utile de tracer le graphe de la fonction \(x\mapsto x-x^2\)