Suites de nombres réels

La suite est décroissante puisque \(u_n^2\) est positif ou nul.

[1 point]

La fonction \(x\mapsto x-x^2\) a un unique point fixe 0, qui est la seule limite possible de la suite.

[1 point]

Une suite décroissante est convergente ou bien tend vers \(-\infty\).

• Si \(u_0<0\), la suite (décroissante) ne peut être convergente vers 0, donc \(u_n\) tend vers \(-\infty\).

  [2 points]

• Si \(u_0>1\), on a \(u_1<0\) et on est ramené au cas précédent : \(u_n\) tend vers \(-\infty\).

  [1 point]

• Si \(u_0=0\) ou \(u_0=1\), tous les termes suivants sont nuls et la suite converge vers 0.

  [1 point]

• Si \(0<u_0<1\) , l'étude de la fonction \(x\mapsto x-x^2\) montre que \(0<u_1<1\), on en déduit par récurrence que \(\forall n\quad0<u_n<1\).

  La suite est décroissante, minorée par 0 donc elle converge. La limite est le point fixe de \(x\mapsto x-x^2\) : 0.

  [2 points]