Exercice 1
Partie
Question
1. Vérifier pour tout \(n \ge 0\) l'inégalité \(n\,(n-1) \le n^2\) et en déduire que pour \(n > 1\)
\(0 \le \frac{1}{n^2} \le \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)
Solution détaillée
\(n^2-n\,(n-1)=n \ge 0.\)
Pour passer à l'inverse, faire attention à ce que \(n(n-1) > 0 !\)
Question
2.On pose pour n > 0
\(u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}\)
montrer que la suite \((u_n)\) est convergente et que sa limite L vérifie \(\frac{3}{2} < L \le 2.\)
Aide simple
Montrer que la suite est croissante, majorée.
Solution détaillée
En utilisant la majoration \(0 \le \frac{1}{n^2} \le \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\) on obtient :
\(\sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2} \le 1-\frac {1}{n}\) d'où \(u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \le 2-\frac {1}{n}\).La suite est donc majorée (par 2).
Comme \(u_{n+1}=u_n+\frac {1} {(n+1)^{2}}\) ,la suite est croissante.
On déduit de ces deux propriétés que la suite est convergente.
Passant à la limite : \(L \le 2 .\)
Comme la suite est croissante \(L > u_2=\frac {3}{2}.\)