Exercice 4
Partie
Question
Soit \(u=(u_n)\) une suite de nombres réels, tous différents de -1. On considère la suite \(v=(v_n)\) définie par \(v_n=\frac {u_n} {1+u_n}.\)
Montrer que u est convergente de limite 0 si et seulement s'il en est de même pour v.
Aide simple
Traiter les deux implications séparément et calculer \(u_n\) en fonction de\( v_n.\)
Solution détaillée
\(\Rightarrow\) puisque u ne prend pas la valeur -1, v est bien définie et un théorème sur les propriétés algébriques des suites convergentes, montre que v est convergente de limite \(\frac {0}{1+0}.\)
\(\Leftarrow\) Du fait de sa définition, v ne prend jamais la valeur 1 et on a \(u_n \,(1-v_n)=v_n\) d'où \(u_n=\frac{v_n}{1-v_n},\) l'argument précédent montre alors que si v est convergente de limite 0 , il en est de même pour u.