Suites de nombres réels

$u_n$ est une somme de n termes, le plus grand est le premier : $\frac{1}{\sqrt {n^2+1}}$ , on a donc

$u_n < \frac{ n} { \sqrt {n^2+1}}=\frac{ 1} {\sqrt {1+\frac {1} {n^2}} }$

Le plus petit des termes est $\frac{ 1} { \sqrt {n^2+n}}$ , d'où

$u_n > \frac{ n} { \sqrt {n^2+n}}=\frac{ 1} {\sqrt {1+\frac {1} {n}} }$

La suite $(u_n)$ est encadrée par deux suites de limite 1, elle est donc convergente de limite 1.

u=(u_n)

v_n=\frac {u_n} {1+u_n}

\frac {u_n} {1+u_n}