Exercice 2
Partie
Question
On pose pour n > 0
\(u_n=\frac {1} {\sqrt {n^2+1} } +\frac {1} {\sqrt{ n^2+2}} + \dots + \frac {1} {\sqrt { n^2+n } }\)
Grâce à un encadrement, montrer que la suite \((u_n)\) est convergente et donner sa limite.
Aide simple
Pour majorer une somme, on peut essayer d'en majorer chacun des termes.
Quel est le plus grand terme ? Combien y a-t-il de termes ?
Solution détaillée
\(u_n\) est une somme de n termes, le plus grand est le premier : \(\frac{1}{\sqrt {n^2+1}}\) , on a donc
\(u_n < \frac{ n} { \sqrt {n^2+1}}=\frac{ 1} {\sqrt {1+\frac {1} {n^2}} }\)
Le plus petit des termes est \(\frac{ 1} { \sqrt {n^2+n}}\) , d'où
\(u_n > \frac{ n} { \sqrt {n^2+n}}=\frac{ 1} {\sqrt {1+\frac {1} {n}} }\)
La suite \((u_n)\) est encadrée par deux suites de limite 1, elle est donc convergente de limite 1.
u=(u_n)
v_n=\frac {u_n} {1+u_n}
\frac {u_n} {1+u_n}