Suites de nombres réels

Si un terme est positif, le suivant est bien défini et positif. Une récurrence montre que tous les termes sont positifs.

\(x=\frac {8+5x}{3+x}\) si et seulement si \(x (3+x)=8+5x, ~x \neq -3\)

soit \(x^2-2x-8=0, x \neq -3\)

soit \(x=4 ~~ou~~ x=-2.\)

\(v_{n+1}=\frac {\frac {8+5u_n}{3+u_n}-4}{\frac {8+5u_n}{3+u_n}+2}=\frac{u_n-4}{7u_n+14}=\frac{1}{7}v_n\)

Une récurrence immédiate montre que \(v_n=\frac{1}{7^n}v_0\) , avec \(v_0=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}.\)On en déduit que \(v\) est convergente de limite 0 et comme \(u_n=\frac{4+2v_n}{1-v_n}\) ( v étant à valeurs négatives ne prend pas la valeur 1), u est convergente de limite 4.

Une telle suite est dite homographique et la façon de l'étudier est classique, à noter dans vos tablettes !