Ensembles de définition

Durée : 5 mn

Note maximale : 5

Question

Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes

  1. \(f_1 : x\mapsto\sqrt{x^2-3x+2}\)

  2. \(\displaystyle{f_2 : x\mapsto\cos~\left(\frac{1}{x}\right)}\)

  3. \(f_3 : x\mapsto\sqrt{2-\sin~x}\)

  4. \(\displaystyle{f_4 : x\mapsto\frac{1}{x^2-3x+2}}\)

  5. \(f_5 : x\mapsto\ln~(1-\tan~x)\)

Solution

  1. Il faut et il suffit que l'expression à l'intérieur de la racine carrée soit positive ou nulle. En étudiant l'équation du second degré, on obtient \(x\notin]1,2[\) soit \(D_{f_1}=]-\infty,1]\cup[2,+\infty[\).

  2. Il faut et il suffit que le dénominateur ne s'annule pas soit \(x\in\mathbb R^*\) ou bien \(D_{f_2}=\mathbb R^*\).

  3. La fonction \(\sin\) prend des valeurs comprises entre \(-1\) et \(1\). L'expression à l'intérieur de la racine carrée est donc positive pour tout \(x\) et donc \(D_{f_3}=\mathbb R\).

  4. En utilisant les racines trouvées pour la fonction \(f_1\), on sait que le dénominateur s'annule pour \(x=1\) et \(x=2\). On a donc \(D_{f_4}=\mathbb R~\setminus~\{1,2\}\).

  5. La fonction \(\tan\) est périodique de période \(\pi\). Pour \(\displaystyle{x\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[}\), la fonction \(\tan\) est croissante et on a \(\displaystyle{\tan~x<1\Rightarrow x<\frac{\pi}{4}}\)

    On en déduit aisément que \(\displaystyle{D_{f_5}=\cup_{k\in\mathbb Z}\left]-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{4}+k\pi\right[}\)