Fonctions bornées

Durée : 5 mn

Note maximale : 5

Question

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions bornées définies sur un intervalle \(D\).

  1. Montrer que \(\sup_{x\in D}(f(x)+g(x))\le\sup_{x\in D}f(x)+\sup_{x\in D}g(x)\)

  2. L'inégalité peut-elle être stricte ?

Solution

  1. On part de la définition de \(\sup\). On a donc

    \(\forall y\in D,~~f(y)\le\sup_{x\in D}f(x),~~g(y)\le\sup_{x\in D}g(x)\).

    En additionnant ces 2 inégalités, on obtient

    \(f(y)+g(y)\le\sup_{x\in D}f(x)+\sup_{x\in D}g(x)\)

    Cette inégalité étant valable pour tout \(y\in D\), on en déduit l'inégalité demandée.

  2. Oui, il suffit de donner un contrexemple pour lequel l'inégalité est stricte. On prend par exemple sur \(D=[0,1]\) les fonctions \(f\) et \(g\) définies \(f(x)=x\) et \(g(x)=1-x\) qui vérifient

    \(\sup_{x\in D}f(x)=1,~ \sup_{x\in D}g(x)=1\).

    De plus, la fonction \(f+g\) est la fonction constante égale à 1. cqfd.