Fonctions paires/impaires

Durée : 5 mn

Note maximale : 4

Question

  1. Question de cours :

    Montrer que toute fonction de\( \mathbb R\) dans \(\mathbb R\) s'écrit de façon unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire, que l'on appelle respectivement partie paire et partie impaire.

  2. Application :

    Décomposer la fonction \(x\mapsto\cos~(x+1)\) en partie paire et partie impaire.

Solution

  1. Revoir le cours :

    Pour toute fonction , on peut écrire :

    \(\displaystyle{x\in\mathbb R,~f(x)=\frac{1}{2}(f(x)+f(-x))+\frac{1}{2}(f(x)-f(-x))}\).

    où le premier terme de la somme est la partie paire, le deuxième la partie impaire.

  2. Voici deux solutions.

    La première méthode est très générale mais conduit à une expression pas toujours très simple. On a, pour tout réel \(x\),

    \(\displaystyle{\cos(x+1)=\frac{1}{2}(\cos(x+1)+\cos(-x+1))+\frac{1}{2}(\cos(x+1)-\cos(-x+1))}\)

    où la première partie est paire, la seconde est impaire.

    La seconde méthode repose sur les formules de trigonométrie. On écrit

    \(\cos(x+1)=\cos(1)\cos(x)-\sin(1)\sin(x)\)

    La décomposition étant unique, on en déduit (en identifiant les parties paires et impaires) que

    \(\displaystyle{\cos(1)\cos(x)=\frac{1}{2}(\cos(x+1)+\cos(-x+1)),~~\sin(1)\sin(x)=-\frac{1}{2}(cos(x+1)-\cos(-x+1))}\)

    Ce que l'on sait directement si on connaît les formules de transformations de produits de fonctions trigonométriques en sommes.

    Moralité : Les méthodes générales ne donnent pas toujours les résultats les plus simples.