Période

Durée : 5 mn

Note maximale : 4

Question

Montrer que la fonction caractéristique de l'ensemble \(\mathbb Q\) des nombres rationnels, notée \(1_\mathbb Q\) et qui vaut \(1\) si \(x\in\mathbb Q\) et \(0\) pour tout \(x\in\mathbb R~\setminus~\mathbb Q\) est périodique et qu'il n'y a pas de plus petite période positive non nulle.

Solution

On vérifie que pour tout \(a\) rationnel et tout \(x\) réel : \(1_\mathbb Q(x+a)=1_\mathbb Q(x)\)

car si \(x\in\mathbb Q\) alors \((x+a)\in\mathbb Q\) et si \(x\notin\mathbb Q\) alors \((x+a)\notin\mathbb Q\) (par l'absurde, si \(x+a\) était rationnel alors \(x=x+a-a\) serait rationnel). Donc tout nombre rationnel est une période (voir définition). Pour tout réel \(r>0\) il existe un rationnel \(s\) tel que \(0<s<r\). Il n'y a pas de plus petite période strictement positive.