Continuité et opérations
Théorème : Opérations algébriques
Si \(f\) et \(g\) sont continues en \(x_0\), alors \(\displaystyle{f+g, fg \textrm{ et, }\textrm{si }g(x_0)\neq0, \frac{f}{g}}\) sont continues en \(x_0\).
Preuve :
On montre la propriété dans le cas du quotient et il suffit, compte tenu des propriétés du produit, de montrer que \(\displaystyle{\frac{1}{g}}\) est continue en \(x_0\) tel que \(g(x_0)\neq0\), les autres démonstrations sont analogues.
On montre d'abord que si \(g(x_0)\neq0\), alors \(g(x)\) est minorée en valeur absolue par un nombre strictement positif dans un voisinage de \(x_0\).
On utilise ensuite cette minoration pour majorer \(\displaystyle{\left\vert\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(x_0)}\right\vert}\).
La première étape consiste à montrer que si \(g\) est continue en \(x_0 \textrm{ et }g(x_0)\neq0\), alors \(g\) ne s'annule pas et garde un signe constant au voisinage de \(x_0\) .
Quitte à remplacer \(g\) par \(-g\), on peut supposer \(g(x_0)>0\), il existe \(\eta_1\) tel que pour tout \(x\) appartenant l'intervalle \(]x_0-\eta_1,x_0+\eta_1[\) , on ait \(\displaystyle{\left\vert g(x)-g(x_0)\right\vert\leq\frac{g(x_0)}{2}}\) d'où \(\displaystyle{g(x)\geq \frac{g(x_0)}{2}>0}\) .
Seconde étape :
On écrit : \(\displaystyle{\left\vert\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(x_0)}\right\vert=\frac{\left\vert g(x)-g(x_0)\right\vert}{g(x)g(x_0)}}\);
il existe alors \(\eta_2\) tel que, pour tout \(x\) appartenant à l'intervalle \(]x_0-\eta_2,x_0+\eta_2[\) on ait
\(\displaystyle{\vert g(x)-g(x_0)\vert<\frac{\epsilon g^2(x_0)}{2}}\) .
On pose \(\displaystyle{\eta=\textrm{ min }(\eta_1,\eta_2)}\), on a alors, pour tout \(x\) appartenant à l'intervalle \(]x_0-\eta,x_0+\eta[\)
\(\displaystyle{\left\vert\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(x_0)}\right\vert<\epsilon}\).
Conséquences
Les fonctions polynômes \(x\mapsto P(x)\textrm{ }(P\in\mathbb R[X])\) sont continues en tout point de \(\mathbb R\).
Les fonctions rationnelles \(\displaystyle{x \mapsto\frac{P(x)}{Q(x)} \textrm{ avec }P, Q \in\mathbb R[X]}\), (\(Q\) différent du polynôme nul) sont continues en tout point de leur ensemble de définition.
Dans l'espace vectoriel \(F(I, \mathbb R)\) des applications d'un intervalle \(I\) dans \(\mathbb R\), le sous ensemble des fonctions continues en un point \(x_0\) de \(I\) en est un sous espace vectoriel.
Théorème : Composition des applications
Soit \(f\) et \(g\) des fonctions définies respectivement sur des intervalles ouverts \(I\) et \(J\); on considère un point \(x_0\in I\) tel que \(f(x_0)\in J\).
Alors, si \(f\) est continue en \(x_0\) et \(g\) continue en \(u_0=f(x_0), \textrm{ }gof\) est continue en \(x_0\).
Preuve :
Cela repose sur l'écriture symbolique de la continuité .
Soit \(\epsilon>0\);
\(g\) est continue en \(u_0\), on a donc :
\(\displaystyle{\exists\alpha>0,\forall u\in J\textrm{ }\quad(\left\vert u-u_0\right\vert<\alpha \Rightarrow\vert g(u)-g(u_0)\vert<\epsilon)}\);
\(f\) est continue en \(x_0\), on a donc :
\(\displaystyle{\exists\eta>0,\forall x\in I\textrm{ }\quad(\left\vert x-x_0\right\vert<\eta\Rightarrow f(x)\in J\textrm{ et }\left\vert f(x)-f(x_0)\right\vert<\alpha)}\)
On obtient finalement :
\(\displaystyle{\forall\epsilon>0,\exists\eta>0,\forall x\in I\quad(\left\vert x-x_0\right\vert<\eta\Rightarrow\left\vert gof(x)-gof(x_0)\right\vert<\epsilon)}\).
Exemple :
On suppose connues les propriétés de continuité des fonctions élémentaires : fonctions algébriques, trigonométriques, exponentielle, logarithme...
a. La fonction \(\displaystyle{x\mapsto\sin\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}\) est continue en tout point différent de 1.
Illustration graphique :
Vous pouvez visualiser les points de la courbe représentant la fonction sur la figure suivante. Pour cela vous devez d'abord cliquer sur le bouton "Déplacer" puis déplacer le point à l'aide des flèches droite et gauche du clavier.
b. La fonction \(\displaystyle{x\mapsto\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}\) est continue en tout point des intervalles où elle est définie :\( \displaystyle{]-\infty,-1[\textrm{ et }]1,+\infty[}\).
Illustration graphique :
Vous pouvez visualiser les points de la courbe représentant la fonction sur la figure suivante. Pour cela vous devez d'abord cliquer sur le bouton "Déplacer" puis déplacer le point à l'aide des flèches droite et gauche du clavier.