Continuité et limite de suites
Tout réel étant limite d'une suite de rationnels, il est naturel de penser que, si \(f\) est continue en \(x_0\) et si \((r_n)\) est une suite de rationnels qui converge vers \(x_0\), alors la suite \((f(r_n))\) converge vers \(f(x_0)\). Ainsi, si \(f\) est continue en \(\pi\) , on approche \(f(\pi)\) en calculant \(f(3,14), f(3,14159)\) etc. Cette propriété se montre immédiatement pour toute suite convergeant vers \(x_0\); la réciproque est plus difficile à établir, elle exprime que si, pour toute suite admettant \(x_0\) pour limite, la suite image est convergente, alors \(f\) est continue en \(x_0\).
Théorème :
Pour qu'une application \(f\) de \(I\) dans \(\mathbb R\) soit continue en \(x_0 \in I,\) il faut et il suffit que, pour toute suite \((u_n)\) d'éléments de \(I\) qui vérifie \(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}u_n=x_0}\), la suite \((f(u_n))\) soit convergente.
Preuve :
Condition nécessaire : la démonstration est analogue à celle de la composée de deux fonctions continues.
Soit \(\epsilon>0\);
de la continuité de \(f\) en \(x_0\) on déduit :
\(\displaystyle{\exists\eta>0,\forall x\in I\textrm{ }(\left\vert x-x_0\right\vert<\eta\Rightarrow\left\vert f(x)-f(x_0)\right\vert<\epsilon)}\);
de l'égalité \(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}u_n=x_0}\) on déduit :
\(\displaystyle{\exists N\in\mathbb N,\forall n\in\mathbb N\quad(n\geq N\Rightarrow u_n\in I\textrm{ et }\left\vert u_n-x_0\right\vert<\eta)}\);
d'où : \(\displaystyle{\exists N\in\mathbb N,\forall n\in\mathbb N\quad(n\ge N\Rightarrow\left\vert f(u_n)-f(x_0)\right\vert<\epsilon)}\) .
(On remarque la grande analogie avec la démonstration concernant la limite d'une fonction composée, ceci vient du fait qu'une suite est une application de \(\mathbb N\) dans \(\mathbb R\)).
Condition suffisante : on précise d'abord que si \(f(u_n)\) converge c'est vers \(f(x_0)\). Ensuite, une démonstration par la contraposée permet de conclure : on suppose que \(f\) est non continue et on construit une suite \(u_n\) qui converge vers \(x_0\) et telle que \(f(u_n)\) ne converge pas.
Première étape : On montre que toutes les suites images des suites, qui ont pour limite \(x_0\), ont pour limite \(f(x_0)\).
Soit \((u_n)\) une suite dont la limite est \(x_0\), la suite \((f(u_n))\) est convergente, on note \(l\) sa limite; on considère également la suite \((v_n)\) constante et égale à \(x_0, (f(v_n))\) a pour limite \(f(x_0)\).
On définit une suite \((w_n)\) par :
\(\displaystyle{w_{2n}=u_n\textrm{ et }w_{2n+1}=v_n}\).
La suite \((w_n)\) a pour limite \(x_0\), donc \((f(w_n))\) est convergente et les suites extraites \((f(w_{2n}))\) et \((f(w_{2n+1}))\) ont donc même limite, on a donc \(l=f(x_0)\).
Deuxième étape : méthode par la contraposée
On suppose \(f\) non continue en \(x_0\), c'est à dire que l'on a :
\(\displaystyle{\exists\epsilon>0,\forall\eta>0,\exists x\in I\textrm{ }(\vert x-x_0\vert<\eta\textrm{ et }\vert f(x)-f(x_0)\vert\ge\epsilon)}\).
On considère une suite \((\eta_n)\) qui tend vers \(0\), par exemple la suite \(\displaystyle{\left(\frac{1}{n}\right)_{n\geq 1}}\); pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(1\) il existe \(u_n\) tel que
\(\displaystyle{\vert u_n-x_0\vert<\frac{1}{n}\textrm{ et }\vert f(u_n)-f(x_0)\vert\ge\epsilon}\).
On a mis en évidence l'existence d'une suite admettant \(x_0\) pour limite et telle que la suite image ne converge pas vers \(f(x_0)\).
Fondamental :
Ce théorème est fondamental car il fournit, dans sa partie directe, la méthode la plus fréquemment utilisée pour montrer qu'une fonction n'est pas continue en un point: il suffit en effet de trouver une suite qui converge vers ce point telle que la suite image n'est pas convergente ou admet une limite différente de \(f(x_0)\) comme on le verra plus tard.