Exercice 1
Durée : 6 mn
Note maximale : 4
Question
Soit \(n\) un entier relatif ; déterminer les paramètres réels \(a_n\) et \(b_n\) pour que la fonction \(f_n\) définie par :
\(\forall x\in]-\infty,n[~~f_n(x)=a_nx^3+b_nx\),
\(\forall x\in[n,n+1[~~f_n(x)=a_nx^2+b_n\),
\(\forall x\in[n+1,+\infty[~~f_n(x)=a_nx+1\),
soit continue en tout point de \(\mathbb R\).
Solution
Pour tout \(n\) la fonction \(f_n\) est continue en tout point distinct de \(n\) et \(n+1\), il suffit donc s'efforcer de "recoller les morceaux" aux points \(n\) et \(n+1\).
Au point \(n\) on a :
\(f_n(n)=a_nn^2+b_n\) et \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow n^-}f_n(x)=a_nn^3+b_nn}\),
\(f_n\) est continue au point \(n\) si et seulement si : \((n-1)(a_nn^2+b_n)=0\).
[1 point]
De même au point \(n+1\) on doit avoir :
\(\displaystyle{f_n(n+1)=a_n(n+1)+1=\lim_{x\rightarrow(n+1)^-}f_n(x)=a_n(n+1)^2+b_n}\),
d'où \(a_n(n+1)n+b_n-1=0\).
[1 point]
Donc si \(n\ne0\) et \(n\ne1\) on a \(\displaystyle{a_n=\frac{1}{n}}\) et \(b_n=-n\).
[1 point]
Dans le cas \(n=1\) il reste une seule égalité : \(2a_1+b_1-1=0\), soit \(b_1=2a_1+1\), il y a une infinité de solutions d'après la première équation.
[1 point]
Dans le cas \(n=0\) on aurait \(b_0 = 0\) et \(b_0=1\) : il n'y a pas de solutions.
Voici une animation avec les graphes des fonctions obtenues pour \(n\) variant de \(-10\) à \(10\) (bien sûr sans prendre la valeur \(0\), pour \(1\) on prend la formule 'générale')
