Exercice 4
Durée : 20 mn
Note maximale : 14
Question
On considère la fonction \(f : x\mapsto e^{{1}/{\ln~x}}\).
Déterminer l'ensemble de définition \(D\) de \(f\).
Etudier la fonction \(f\) quand \(x\) tend vers \(0\), quand \(x\) tend vers \(1\), quand \(x\) tend vers \(+\infty\)
Démontrer l'inclusion \(f(D)\subset D\) et déterminer la fonction \(f\bigcirc f\).
Soit \(x_0\in D\) ; on définit la suite \((u_n)\) par : \(u_0=x\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\)
Pour quelles valeurs de \(x\) la suite \((u_n)\) est-elle convergente ?
L'ensemble \(f(D)\) admet-il une borne inférieure, un plus petit élément ?
Solution
On a immédiatement \(D=\{x>0, x\ne1\}\).
[1 point]
Quand \(x\) tend vers \(0\), le logarithme tend vers \(-\infty\) et \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}e^{{-1}/{\ln~x}}=1}\).
[1 point]
Quand \(x\) tend vers \(1^-\) : \(\displaystyle{\ln~x<0,~\lim_{x\rightarrow1^-}\ln~x=0}\), d'où \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow1^-}e^{{1}/{\ln~x}}=0}\)
[1 point]
quand \(x\) tend vers \(1^+\) : \(\displaystyle{\ln~x>0,~\lim_{x\rightarrow1^+}\ln~x=0}\), d'où \(\displaystyle{e^{{1}/{\ln~x}}\rightarrow+\infty}\),
la fonction n'a pas de limite quand \(x\) tend vers \(1\).
[1 point]
Quand \(x\) tend vers \(+\infty\) : \(\ln~x\rightarrow+\infty\), d'où \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}e^{{1}/{\ln~x}}=1}\).
[1 point]
Pour tout \(x\in D,~f(x)>0\) et \(f(x)\ne1\) la fonction \(f\bigcirc f\) est donc définie sur \(D\)
et \(\displaystyle{f\bigcirc f(x)=e^{\tfrac{1}{\ln~\left(e^{\tfrac{1}{\ln~x}}\right)}}=e^{\ln~x}=x}\).
D'où \(f\bigcirc f=\textrm{Id}\).
[3 points]
On a \(u_0=x,~u_1=f(x),~u_2=f\bigcirc f(x)=x\) d'où, \(\forall n\ge0~u_{2n}=u_0\) et \(u_{2n+1}=u_1\) ; la suite est convergente si et seulement si \(u_0=u_1\) soit \(f(x)=x\) ou encore \(\ln^2x=1\) soit \(x=e\) ou \(\displaystyle{x=\frac{1}{e}}\).
[3 points]
L'inégalité \(\forall x>0,~f(x)>0\) entraîne que l'ensemble \(f(D)\) est minoré , comme il est non vide il admet une borne inférieure, l'égalité \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow1^-}f(x)=0}\) entraîne que \(0\) est borne inférieure, et, comme \(0\) n'appartient pas à \(D\), ce n'est pas un minimum.
[3 points]