Exercice 2

Durée : 3 mn

Note maximale : 2

Question

Trouver une application \(f\) de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) vérifiant les conditions :

  • \(f\) n'est continue en aucun point de \(\mathbb R\)

  • \(f\bigcirc f\) est continue en tout point de \(\mathbb R\).

Solution

En considérant la fonction caractéristique des rationnels définie par :

\(\forall x\in\mathbb Q~~f(x)=1\) et \(\forall x\notin\mathbb Q~~f(x)=0\),

on a une fonction qui n'est continue en aucun point, telle que la fonction \(f\bigcirc f\) est la fonction constante et égale à \(1\).