Exercice 3
Durée : 30 mn
Note maximale : 15
Question
Soit une \(f\) application non constante de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) telle que :
\(\forall x_1\in\mathbb R,~\forall x_2\in\mathbb R,~f(x_1x_2)=f(x_1)f(x_2)\).
Montrer que la fonction \(f\) vérifie les propriétés suivantes :
(i) \(f(x)=0\Leftrightarrow x=0\),
(ii) \(\forall x>0~~f(x)>0\).
On suppose que la fonction \(f\) vérifie en outre la condition :
\(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x+1)}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{f(x+1)}{f(x)}=1}\).
Montrer que \(f\) est continue au point \(1\), puis en tout point \(x\) distinct de \(0\).
On pose : \(\forall x\in\mathbb R~g(x)=\ln~(f(e^x))\).
Montrer que \(g\) est définie sur \(\mathbb R\), vérifie :
\(\forall x_1\in\mathbb R,~\forall x_2\in\mathbb R~~g(x_1+x_2)=g(x_1)+g(x_2)\)
et est continue en tout point de \(\mathbb R\).
On rappelle qu'il existe une application unique de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\), vérifiant la relation précédente et continue en tout point de \(\mathbb R\) si on fixe la valeur de \(g\) au point \(1\), c'est l'application : \(g(x)=g(1)x\) , en déduire l'expression de \(f(x)\) successivement pour \(x>0\) et \(x<0\).
Solution
(i) Pour \(x=0\) on a \(f(0)=f^2(0)\) d'où \(f(0)=0\) ou \(f(0)=1\)
Si \(f(0)=1\), alors :
\(\forall x\in\mathbb R~~f(0x)=f(x)f(0)=f(x)=f(0)\) soit \(f(x)=1\)
ce qui est exclu car \(f\) n'est pas constante , donc \(f(0)=0\).
[2 points]
Réciproquement, s'il existe \(a\ne0\) tel que \(f(a)=0\), alors :
\(\displaystyle{\forall x\in\mathbb~f(x)=f\left(x\frac{a}{a}\right)=f(a)f\left(\frac{x}{a}\right)=0}\), ce qui est exclu car \(f\) n'est pas constante.
[1 point]
(ii) Pour \(x>0\), on a \(x=(\sqrt{x})^2\) d'où \(f(x)=(f(\sqrt{x}))^2>0\).
[1 point]
On a \(f(1)=f(1)^2\) et \(f(1)>0\) d'où \(f(1)=1\).
Pour étudier la fonction au voisinage de \(1\) on pose \(h=x-1\), on étudie \(f(1+h)\) au voisinage de \(0\).
On écrit :
\(\displaystyle{f(1+h)=f(h)f\left(1+\frac{1}{h}\right)=\frac{f\left(1+\frac{1}{h}\right)}{f\left(\frac{1}{h}\right)}}\), quand \(\displaystyle{h\rightarrow0^+~~\frac{1}{h}\rightarrow+\infty}\) et quand \(\displaystyle{h\rightarrow0^-~~\frac{1}{h}\rightarrow-\infty}\), on a donc :
\(\displaystyle{\lim_{h\rightarrow0^+}f(1+h)=\lim_{h\rightarrow0^-}f(1+h)=1}\); la fonction est continue au point \(1\).
[2 points]
Soit \(x_0\ne0\), on a \(\displaystyle{f(x_0+h)=f(x_0)f\left(1+\frac{h}{x_0}\right)}\) d'où \(\displaystyle{\lim_{h\rightarrow0}f(x_0+h)=f(x_0)}\) et la fonction est continue en \(x_0\).
[2 points]
Pour tout \(x\) réel, on a \(e^x>0\) d'où \(f(e^x)>0\) et \(g(x)\) est défini.
On a alors les égalités successives :
\(\begin{array}{llll}\forall x_1\in\mathbb R,\forall x_2\in\mathbb R&g(x_1+x_2)&=&\ln\left(f\left(e^{x_1+x_2}\right)\right)=\ln\left(f(e^{x_1}e^{x_2})\right)\\&&=&\ln(f(e^{x_1})f(e^{x_2}))\\&&=&\ln(f(e^{x_1}))+\ln(f(e^{x_2}))\\&&=&g(x_1)+g(x_2)\end{array}\)
[2 points]
La fonction \(g\) est continue en tout point de \(\mathbb R\) comme composée des fonctions :
\(\begin{array}{lllllll}\mathbb R&\rightarrow&\mathbb R_+^*&\rightarrow&\mathbb R_-^*&\rightarrow&\mathbb R\\x&\mapsto&e^x&\mapsto&f(e^x)&\mapsto&\ln(f(e^x))\end{array}\)
[1 point]
L'application est donc définie par \(g(x)=g(1)x\), d'où, si l'on pose \(\alpha=g(1), ~f(e^x)=e^{\alpha x}\).
D'où, en posant, \(X=e^x>0,~f(X)=e^{\alpha\ln X}=X^\alpha\).
[2 points]
On a donc l'expression de \(f\) pour \(x>0,~f(x)=x^\alpha\).
Pour \(x<0\), on a \(f(x)=f(-x)f(-1)=f(-1)(-x)^\alpha\) avec \(f(-1)^2=f(1)=1\)
d'où \(f(-1)=1\) ou \(f(-1)=-1\).
Donc pour \(x<0\), si \(f(-1)=1\) alors \(f(x)=(-x)^\alpha\) et si \(f(-1)=-1\) alors \(f(x)=-(-x)^\alpha\).
[2 points]