1. Sur les intervalles \displaystyle{\left[0,\frac{n}{n+1}\right]} et \displaystyle{\left]\frac{n}{n+1},1\right]} la fonction f_n est polynomiale et donc continue. On a \displaystyle{f_n\left(\frac{n}{n+1}\right)=n\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\lim_{n\rightarrow\left(\frac{n}{n+1}\right)^-}f_n(x)}, la fonction est donc également continue au point \displaystyle{\frac{n}{n+1}}.
La fonction f_n est croissante sur \displaystyle{\left[0,\frac{n}{n+1}\right]} et décroissante sur \displaystyle{\left]\frac{n}{n+1},1\right]}.
[2 points]
On écrit \displaystyle{f_n\left(\frac{n}{n+1}\right)=\frac{n}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}}, or, quand n tend vers +\infty, \displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e} (limite classique qu'on peut retrouver en étudiant le logarithme du terme général de la suite).
On en déduit : \displaystyle{f_n\left(\frac{n}{n+1}\right)\rightarrow+\infty} quand n\rightarrow+\infty .
[2 points]
3. On a : pour x=1,\forall n\ge0~f_n(1)=0 et pour x=0,\forall n\ge0~f_n(0)=0. Soit x un réel fixé vérifiant : 0<x<1, il existe un rang n_0 tel que, pour n\ge n_0, en ait \displaystyle{x<\frac{n}{n+1}}, d'où f_n(x)=nx^n. On étudie alors :
\displaystyle{\ln f_n(x)=\ln n+n\ln x=n\ln x\left(1+\frac{\ln n}{n\ln x}\right)};
comme \displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\ln n}{n\ln x}=0} et \ln x<0, \ln f_n(x) tend vers moins l'infini et f_n(x) tend vers 0.
[3 points]
Ce résultat n'est pas en contradiction avec le résultat précédent : ici on étudie une suite (f_n(x)) avec x fixé tandis qu'on étudiait précédemment une suite (f_n(x_n)) où (x_n) est une suite de limite 1.
[3 points]
