Exercice 4

Durée : 10 mn

Note maximale : 10

Question

Soit \(f_n\) la fonction définie, pour tout entier naturel \(n\), par :

\(\displaystyle{\forall x\in\left[0,\frac{n}{n+1}\right]~f_n(x)=nx^n,~~\forall x\in\left]\frac{n}{n+1},1\right]~f_n(x)=n^{n+1}(1-x)^n}\).

  1. Montrer que \(f_n\) est continue en tout point de l'intervalle \([0,1]\) et tracer son graphe.

  2. Etudier la suite \(\displaystyle{\left(f_n\left(\frac{n}{n+1}\right)\right)}\).

  3. Etudier, pour \(x\in[0,1]\), la suite \((f_n(x))\). Le résultat est-il contradictoire avec le résultat précédent ?