Définition
Définition :
On dit que la fonction est continue sur \mathcal I si f est continue en tout point de \mathcal I.
Cette définition exprime que, pour tout point x_0 de \mathcal I, f(x) est voisin de f(x_0) quand x est voisin de x_0 . Plus précisément : pour tout point x_0 et tout voisinage \mathcal V(f(x_0)) il existe un voisinage \mathcal V(x_0) tel que, si x appartient à \mathcal V(x_0),f(x) appartient à \mathcal V(f(x_0)).
Soit en langage formalisé :
\displaystyle{\forall x_0\in\mathcal I,\forall\epsilon>0,\exists\eta>0,\forall x\in\mathcal I(\vert x-x_0\vert<\eta\Rightarrow\vert f(x)-f(x_0)\vert<\epsilon)}
Remarque :
On remarque que la phrase en langage parlé ou formalisé commence par : pour tout point x_0\in\mathcal I, en conséquence le réel \eta dépend de \epsilon et de x_0\in\mathcal I.
Complément : Interprétation graphique
Interprétation graphique : le graphe \{(x,f(x))\} est un arc continu (c'est-à-dire qu'on peut tracer sans lever le crayon, sans "saut").
Exemple de fonction continue :
Exemple de fonction NON continue :
