Définition

Définition

On dit que la fonction \(f\) est continue sur \(\mathcal I\) si \(f\) est continue en tout point de \(\mathcal I\).

Cette définition exprime que, pour tout point \(x_0\) de \(\mathcal I, f(x)\) est voisin de \(f(x_0)\) quand \(x\) est voisin de \(x_0\) . Plus précisément : pour tout point\( x_0\) et tout voisinage \(\mathcal V(f(x_0))\) il existe un voisinage \(\mathcal V(x_0)\) tel que, si \(x\) appartient à  \(\mathcal V(x_0),f(x)\) appartient à \(\mathcal V(f(x_0))\).

Soit en langage formalisé :

\(\displaystyle{\forall x_0\in\mathcal I,\forall\epsilon>0,\exists\eta>0,\forall x\in\mathcal I(\vert x-x_0\vert<\eta\Rightarrow\vert f(x)-f(x_0)\vert<\epsilon)}\)

Remarque

On remarque que la phrase en langage parlé ou formalisé commence par : pour tout point \(x_0\in\mathcal I\), en conséquence le réel \(\eta\) dépend de \(\epsilon\) et de \(x_0\in\mathcal I\).

ComplémentInterprétation graphique

Interprétation graphique : le graphe \(\{(x,f(x))\}\) est un arc continu (c'est-à-dire qu'on peut tracer sans lever le crayon, sans "saut").

Exemple de fonction continue :

Exemple de fonction continue

Exemple de fonction NON continue :

Exemple de fonction NON continue