Fonctions continues sur un intervalle

L'image d'un intervalle fermé, borné par une fonction continue est un intervalle fermé, borné.

On considère un intervalle fermé borné \([a,b](a< b)\) et une application continue de \([a,b]\) dans \(\mathbf R\).

On étudie l'image\( f([a,b])\) et on montre successivement les points suivants :

Première étape : \(f([a,b])\) est une partie bornée de \(\mathbf R\),

Démonstration par l’absurde : on suppose \(f([a,b])\) non majorée, c'est-à-dire : \(\forall B>0,\exists x\in[a,b]f(x)>B\).

On prend pour \(B\) successivement tous les termes d’une suite qui tend vers l’infini, ici la suite des entiers : \(\forall n\in \mathbf N,\exists u_n\in[a,b],f(u_n)>n\)

On a ainsi défini une suite \((u_n)\) d'éléments de \([a,b]\) ; d’après le théorème de Bolzano-Weierstrass on peut en extraire une suite \((v_n=u_{\varphi(n)})\) convergente dont la limite \(c\) appartient à l’intervalle \([a,b]\) et puisque \(f\) est continue, \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}f(v_n)=f(c)\).

D'autre part, on a : \(\forall n\ge0,f(v_n)\ge\varphi(n)\ge n\),

donc \(f(v_n)\rightarrow +\infty\) quand \(n\rightarrow +\infty\) ce qui est en contradiction avec \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}f(v_n)=f(c)}\).

L'image \(f([a,b])\) est donc majorée, on montre de même qu’elle est minorée.

Deuxième étape :

\(f([a,b])\) a un plus grand et un plus petit élément

L’image \(f([a,b])\) étant bornée, elle admet une borne supérieure \(M\). On a donc : \(\forall\epsilon>0,\exists x\in[a,b],M-\epsilon<f(x)\le M\).

On prend pour \(\epsilon\) tous les termes d’une suite qui tend vers 0, ici la suite \((\epsilon_n) = \left(\frac1n\right)_{n\geq 1}\) : \(\forall n\in\mathbb N^*,\exists w_n\in[a,b],M-\frac1{n}<f(w_n)\le M\)

De la suite \((w_n)\) ainsi formée on extrait, en appliquant encore une fois le théorème de Bolzano-Weierstrass une suite, que l’on note \((t_n)\), convergente, dont la limite \(d\) appartient à \([a,b]\).

La fonction étant continue en particulier en \(d\) on a : \(M=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}f(t_n)=f(d)\)

La valeur \(M\) est donc atteinte par la fonction sur l’intervalle \([a,b]\) ; il en est de même pour la borne inférieure \(m\). On a donc \(M=f(d)\) et \(m=f(d')\) avec \(d\in I\) et \(d'\in I\).

Troisième étape : \(f([a,b])=[m,M]\)

On a les inclusions \(f([a,b])\subset[m,M]\subset f([a,b])\). D'où \(f([a,b])=[m.M]=[f(d'),f(d)]\).

La démonstration repose sur deux théorèmes :

• le théorème de Bolzano-Weierstrass qui permet, l'intervalle \([a,b]\) étant fermé, borné, d'extraire de toute suite d'éléments de \([a,b]\) une suite convergente,

• le théorème qui lie continuité d'une fonction en un point et convergence des suites images \((f(u_n))\), pour toutes les suites\( (u_n)\) qui convergent vers ce point.