Fonctions continues sur un intervalle

L'image d'un intervalle fermé, borné par une fonction continue est un intervalle fermé, borné.

On considère un intervalle fermé borné $[a,b](a< b)$ et une application continue de $[a,b]$ dans $\mathbf R$.

On étudie l'image$f([a,b])$ et on montre successivement les points suivants :

Première étape : $f([a,b])$ est une partie bornée de $\mathbf R$,

Démonstration par l’absurde : on suppose $f([a,b])$ non majorée, c'est-à-dire : $\forall B>0,\exists x\in[a,b]f(x)>B$.

On prend pour $B$ successivement tous les termes d’une suite qui tend vers l’infini, ici la suite des entiers : $\forall n\in \mathbf N,\exists u_n\in[a,b],f(u_n)>n$

On a ainsi défini une suite $(u_n)$ d'éléments de $[a,b]$ ; d’après le théorème de Bolzano-Weierstrass on peut en extraire une suite $(v_n=u_{\varphi(n)})$ convergente dont la limite $c$ appartient à l’intervalle $[a,b]$ et puisque $f$ est continue, $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}f(v_n)=f(c)$.

D'autre part, on a : $\forall n\ge0,f(v_n)\ge\varphi(n)\ge n$,

donc $f(v_n)\rightarrow +\infty$ quand $n\rightarrow +\infty$ ce qui est en contradiction avec $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}f(v_n)=f(c)}$.

L'image $f([a,b])$ est donc majorée, on montre de même qu’elle est minorée.

Deuxième étape :

$f([a,b])$ a un plus grand et un plus petit élément

L’image $f([a,b])$ étant bornée, elle admet une borne supérieure $M$. On a donc : $\forall\epsilon>0,\exists x\in[a,b],M-\epsilon<f(x)\le M$.

On prend pour $\epsilon$ tous les termes d’une suite qui tend vers 0, ici la suite $(\epsilon_n) = \left(\frac1n\right)_{n\geq 1}$ : $\forall n\in\mathbb N^*,\exists w_n\in[a,b],M-\frac1{n}<f(w_n)\le M$

De la suite $(w_n)$ ainsi formée on extrait, en appliquant encore une fois le théorème de Bolzano-Weierstrass une suite, que l’on note $(t_n)$, convergente, dont la limite $d$ appartient à $[a,b]$.

La fonction étant continue en particulier en $d$ on a : $M=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}f(t_n)=f(d)$

La valeur $M$ est donc atteinte par la fonction sur l’intervalle $[a,b]$ ; il en est de même pour la borne inférieure $m$. On a donc $M=f(d)$ et $m=f(d')$ avec $d\in I$ et $d'\in I$.

Troisième étape : $f([a,b])=[m,M]$

On a les inclusions $f([a,b])\subset[m,M]\subset f([a,b])$. D'où $f([a,b])=[m.M]=[f(d'),f(d)]$.

La démonstration repose sur deux théorèmes :

• le théorème de Bolzano-Weierstrass qui permet, l'intervalle $[a,b]$ étant fermé, borné, d'extraire de toute suite d'éléments de $[a,b]$ une suite convergente,

• le théorème qui lie continuité d'une fonction en un point et convergence des suites images $(f(u_n))$, pour toutes les suites$(u_n)$ qui convergent vers ce point.