Image d'un intervalle par une fonction continue
On a vu dans l'introduction que l'image d'un intervalle par une fonction non continue comme la fonction partie entière (notée \(\mathcal E\)) n'est pas nécessairement un intervalle ainsi :\(\mathcal E([-1,1])=\{-1,0,1\}\). Pour une fonction continue la situation est plus simple.
Théorème :
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Preuve :
On doit montrer qu'étant donné deux points \(y_1\) et \(y_2\) appartenant à \(f(\mathcal I)\) , l'intervalle d'extrémités \(y_1\) et \(y_2\) est inclus dans \(f(\mathcal I)\). Cette démonstration repose sur le théorème des valeurs intermédiaires.
Preuve :
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(\mathcal I\) .
Soient \(y_1\in f(\mathcal I),y_2\in f(\mathcal I)\quad(y_1\leq y_2)\).
Il existe \(x_1\in\mathcal I,x_2\in\mathcal I\) tel que \(y_1=f(x_1)\) et \(y_2=f(x_2)\) .
On suppose, par exemple,\(x_1\leq x_2\).
D'après le théorème des valeurs intermédiaires on a l'inclusion :
\(\displaystyle{[y_1,y_2]\subset f([x_1,x_2])}\)
Mais on a aussi \([x_1,x_2]\subset\mathcal I\), car \(\mathcal I\) est un intervalle , donc \(f([x_1,x_2])\subset f(\mathcal I)\), d'où finalement :
\([y_1,y_2]\subset f(\mathcal I)\).
L'image \(f(\mathcal I)\) est donc un intervalle.
Remarque : Remarque fondamentale
Les caractères : ouvert, semi-ouvert, borné ne sont pas conservés par continuité.
En revanche le caractère fermé et borné se conserve par une fonction continue, ceci est l'objet du très important théorème suivant.
Exemple : Exemple 1
L'image par la fonction continue cosinus de l'intervalle ouvert \(]0,2\pi[\) est l'intervalle semi-ouvert \([-1,1[\), l'image de l'intervalle semi-ouvert \([0,2\pi[\) est l'intervalle fermé \([-1,1]\).
Exemple : Exemple 2
L'image par la fonction \(\displaystyle{x\mapsto\frac{1}{x}}\) de l'intervalle borné \(]0,1]\) est \([1,+\infty[\).
