Théorème des valeurs intermédiaires
Problème préliminaire
Les fonctions continues sur un intervalle fermé borné ont des propriétés remarquables : en particulier on peut établir, sous certaines conditions, un théorème d'existence des solutions de l'équation \(f(x) = 0\), ainsi qu'un processus permettant d'approcher ses solutions.
On considère une application \(f\) d'un intervalle\( [a,b](a < b)\) dans \(\mathbf R\) ; on suppose \(f(a)f(b)\leq0\), on cherche à répondre aux questions suivantes :
- l'équation \(f(x) = 0\), admet-elle des solutions sur\( [a,b]\)?
- si oui comment les approcher ?
Théorème :
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle fermé, borné\( [a,b]\); si la condition \(f(a),f(b)\leq0\) est vérifiée alors l'équation \(f(x)=0\) a au moins une solution sur \([a,b]\).
Méthode : Méthode de la preuve
Étape a :
On suppose \(f(a)\le0, f(b)>0\) et on considère le point \(\frac{a+b}2\) qui appartient à l’intervalle \([a,b]\).
On pose :
si \(f\left(\frac{a+b}2\right)\le0\), \(a_1=\frac{a+b}2\) et \(b_1=b\)
si \(f\left(\frac{a+b}2\right)>0\), \(a_1=a\) et \(b_1=\frac{a+b}2\).
On a ainsi défini un intervalle \([a_1,b_1]\) tel que :
\(a\le a_1<b_1\le b\),
\(b_1-a_1=\frac{b-a}2\)
\(f(a_1)\le0,f(b_1)>0\)
On recommence la même opération avec l’intervalle \([a_1,b_1]\) et ainsi de suite. On construit ainsi par récurrence une suite d'intervalles emboîtés.
On suppose donc qu’on a déterminé, pour tout entier \(p=1,2, n-1\), un intervalle \([a_p,b_p]\) tel que :
(i) \(a\le a_{p-1}\le a_p<b_p\le b_{p-1}\le b\)
(ii) \(b_p-a_p=\frac{b_{p-1}-a_{p-1}}2\)
(iii) \(f(a_p)\le0,f(b_p)>0\)
On considère le point \(\frac{a_n+b_n}2\) et on pose :
si \(f\left(\frac{a_n+b_n}2\right)\le0,a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}2\) et \(b_{n+1}=b_n\)
si \(f\left(\frac{a_n+b_n}2\right)>0,a_{n+1}=a_n\) et \(b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}2\)
Remarque : si pour un rang \(n\) on a \(f\left(\frac{a_n+b_n}2\right)=0,\frac{a_n+b_n}2\) est solution de l'équation \(f(x) = 0\) .
Étape b :
On vérifie immédiatement que les conditions (i), (ii),et (iii) sont vérifiées au rang \(n+1\). On a ainsi construit deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) vérifiant les conditions suivantes :
la suite \((a_n)\) est croissante et la suite \((b_n)\) est décroissante,
\(\forall n\in Na\le a_n\le a_{n+1}<b_{n+1}\le b_n\le b\)
\(b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}\), d'où \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}(b_n-a_n)=0\)
Les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) sont adjacentes, elles ont une limite commune \(c\) qui vérifie \(a\le c\le b\).
Étape c :
Les inégalités : \(\forall n\in Nf(a_n)\le0\le f(b_n)\)
ont pour conséquence, si la fonction \(f\) est continue en \(c\) , \(f(c)=0\) (propriété de prolongement des inégalités). On a établi un théorème d'existence et construit un processus d'encadrement des solutions par des suites adjacentes.
Exemple :
On se propose de localiser une racine (réelle) de l'équation
\(x^8+8x^3+x-3=0\) .
On considère, pour cela, la fonction \(f :x\mapsto x^8+8x^3+x-3=0\), qui est continue sur \(\mathbf R\).
Le calcul des valeurs prises par la fonction pour des valeurs simples de la variable permet, grâce au théorème précédent, une première localisation. On a en effet \(f(0)=-3\) et \(f(1)=7\). On est assuré qu'il y a, au moins, une racine entre \(0\) et \(1\).
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Théorème : Théorème des valeurs intermédiaires
Soit\( f\) une fonction continue sur un intervalle fermé, borné \([a,b]\);
alors \(f\) prend toute valeur comprise entre \(f(a)\) et \(f(b)\).
Preuve :
Soit \(k\) un réel compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\). La fonction \(g\) définie sur \([a,b]\) par \(g(x)=f(x)-k\), est continue sur\( [a,b]\) et vérifie \(g(a)g(b)\leq0\) ; il existe donc un point \(c\) de tel que \(g(c)=0\) d'où \(f(c)=k\).