Matrices à n lignes et p colonnes

\(\mathcal A+\mathcal B=\mathcal B+\mathcal A\)

La justification est immédiate : si \(\mathcal A=(a_{i,j})\) et\( \mathcal B=(b_{i,j})\) , on sait que \(\mathcal A+\mathcal B=\mathcal C\)

avec \(\mathcal C=(c_{i,j})\textrm{ et } c_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j}\) pour tout couple\( ( i,j)\) avec \(1\leq i\leq n,1\leq j\leq p\).

Or, dans \(\mathbf K\), on a \(a_{i,j}+b_{i,j}=b_{i,j}+a_{i,j}\) . Le résultat en découle immédiatement.

Comme cette propriété est vraie pour tous les éléments de \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\), on dit que l'addition des matrices est commutative.

\((\mathcal A+\mathcal B)+\mathcal C=\mathcal A+(\mathcal B+\mathcal C)\)

La justification est semblable à la précédente : c'est une conséquence directe de la propriété, vraie pour tout élément \(a, b,\) et \(c\) de \(\mathbf K,(a+b)+c=a+(b+c)\).

Comme la propriété \(2\) est vraie pour tous les éléments de\( \mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\), on dit que l'addition des matrices est associative.

Si on note \(\mathcal O\) la matrice, élément de \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\), dont tous les coefficients sont nuls, on a \(\mathcal A+\mathcal O=\mathcal A\).

La justification est semblable à la précédente : c'est une conséquence directe de la propriété, vraie pour tout élément \(a \textrm{ de }\mathbf K\). Comme la propriété \(3\) est vraie pour tous les éléments \(\mathcal A\) de \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\), on dit que \(\mathcal O\) est élément neutre pour l'addition des matrices.

Si \(\mathcal A=(a_{i,j})\) et \(\mathcal A'=(-a_{i,j})\) et , on a \(\mathcal A+\mathcal A'=\mathcal O\).

La justification est semblable à la précédente : c'est une conséquence directe de la propriété, vraie pour tout élément \(a \textrm{ de }\mathbf K,a+(-a)=0\) . On dit que \(\mathcal A\) admet un symétrique pour l'addition qui est la matrice à coefficients dans \(\mathbf K\), à \(n\) lignes et \(p\) colonnes, de coefficient \(-a_{i,j}\) (on l'appelle aussi matrice opposée de la matrice \(\mathcal A\)). On note \(-\mathcal A\) cette matrice. On a donc \(\mathcal A+(-\mathcal A)=\mathcal O\). Il faut noter que cette propriété est vraie pour tous les éléments\( \mathcal A\) de \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\).