Transposée de la somme de deux matrices
Enfin nous allons voir le comportement de la transposition par rapport à la somme.
Propriété :
La transposée de la somme de deux matrices est la somme des matrices transposées.
La preuve de cette propriété se fonde sur la définition de la transposée d'une matrice et sur celle de l'addition de deux matrices.
Démonstration :
Soit\( \mathcal A=(a_{i,j})\) et\( \mathcal B=(b_{i,j})\) deux éléments de\( \mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\) .
Alors\( \displaystyle{{}^t\mathcal A=(a^t_{k ,l})}\) et \({}^t\mathcal B=(b^t_{k,l}) \) avec, pour tout \(k\) compris entre \(1 \textrm{ et }p\) et tout \(l\) compris entre \(1 \textrm{ et }n\), \(\displaystyle{a'_{k,l}=a_{l,k}}\) et \(b'_{k,l}=b_{l,k}\) .
On sait que \(\mathcal A+\mathcal B=(c_{i,j})\) avec
\(\displaystyle{\forall i,1\leq i\leq n,\quad\forall j,1\leq j\leq p,\quad c_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j}}\) .
Alors \(\displaystyle{{}^t(\mathcal A+\mathcal B)=(c'_{k,l})}\) avec \(c'_{k,l}=c_{l,k}=a_{l,k}+b_{l,k}\) . Donc il vient ,
\(\displaystyle{c'_{k,l}=a'_{k,l}+b'_{k,l}}\) d'où d'après la définition de la somme de deux matrice \(\displaystyle{{}^t(\mathcal A+\mathcal B)={}^t\mathcal A+{}^t\mathcal B}\).