Définition du produit d'une matrice par un scalaire
Nous allons introduire une nouvelle opération sur\( \mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\)
Définition : Définition du produit d'une matrice par un scalaire
Soient \(\displaystyle{\mathcal A=(a_{i,j})}\) une matrice appartenant à \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\) et\( \alpha\) un élément de \(\mathbf K\). On désigne par \(\alpha\mathcal A\) la matrice appartenant à \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\) dont le terme général est le produit par \(\alpha\) du terme général de \(\mathcal A\). On a donc \(\alpha\mathcal A=(\alpha a_{i,j})\). On dit que \(\alpha\mathcal A\) est le produit de la matrice \(\mathcal A\) par le scalaire \(\alpha\) .
Il est clair que le fait que le produit de deux éléments de \(\mathcal K\) soit encore un élément de \(\mathcal K\), est essentiel dans cette définition.
Nous allons donner des exemples pour l'illustrer.
Exemple : Exemple 1
Soit A la matrice à coefficients complexes
\(\displaystyle{\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}i&0&1+i&i\\-i&2&i\sqrt3&0\end{array}\right)}\)
et le scalaire\( i\) tel que \(i^2=-1\) . Alors
\(\displaystyle{i\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}-1&0&i-1&-1\\1&2i&-\sqrt3&0\end{array}\right)}\)
Exemple : Exemple 2
Soit \(\mathcal A\) la matrice à coefficients réels \(\displaystyle{\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right)}\)
et \(\alpha\) un nombre réel quelconque.
Alors \(\displaystyle{\alpha\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}\alpha&\alpha&\alpha\\\alpha&\alpha&\alpha\\\alpha&\alpha&\alpha\end{array}\right)}\)
Exemple : Exemple 3
Soient \(\mathcal A=(a_{i,j})\) une matrice quelconque appartenant à \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\) et \(\alpha=0\) .
Alors \(0\mathcal A=\mathcal O\). En effet, le terme général de \(0\mathcal A\) est égal à \(0a_{i,j}=0\), puisque l'on sait que dans\( \mathbf K\), le produit d'un élément quelconque par \(0\) est égal à \(0\).
Exemple : Exemple 4
Soit \(\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}2a&2c\\2b&2d\end{array}\right)\) où \(a, b, c \textrm{ et }d\) sont des réels quelconques.
Alors on peut écrire : \(\mathcal A=2\left(\begin{array}{cccccc}a&c\\b&d\end{array}\right)\).