Matrices à n lignes et p colonnes

Les exemples précédents prouvent que le produit des matrices n'est pas commutatif.

Plusieurs cas de figures peuvent se produire. En effet \(\mathcal{AB}\) et \(\mathcal{BA}\) peuvent ne pas avoir de sens simultanément. C'est le cas de l'exemple 1.

Comlément :

Si \(\displaystyle{\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&2\\0&3\\-1&0\\0&4\end{array}\right)}\) et \(\mathcal B=\left(\begin{array}{cccccc}0&-1&0\\1&1&1\end{array}\right)\)

Le produit \(\mathcal{AB}\) a un sens car le nombre de colonnes de \(\mathcal A\) est égal à \(2\) qui est le nombre de lignes de \(\mathcal B\). et on trouve une matrice de type\( (4,3)\).

Par contre, le produit\( \mathcal BA\) n'a pas de sens, puisque la matrice qui est à gauche, à savoir \(\mathcal B\), a \(3\) colonnes et que la matrice qui est à droite, à savoir \(\mathcal A\), a \(4\) lignes.

Dans le cas où \(\mathcal{AB}\) et\( \mathcal{BA}\) existent simultanément, le résultat peut être des matrices qui ne sont pas de même type, c'est le cas de l'exemple 2.

Complément :

Soient deux matrices, \(\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&2&3\\0&0&-1\end{array}\right)\) élément de \(\mathcal M_{2,3}(\mathbf R)\) et \(\mathcal B=\left(\begin{array}{cccccc}1&0\\1&0\\1&2\end{array}\right)\) élément de \(\mathcal M_{2,3}(\mathbf R)\). Ici, les deux produits \(\mathcal{AB}\) et \(\mathcal{BA}\) ont un sens mais attention, on ne trouve pas, en effectuant ces deux produits, des matrices de même type.

En effet, \(\mathcal{AB}\) est carrée et appartient à \(\mathcal M_2(\mathbf R)\), alors que \(\mathcal{BA}\) appartient à \(\mathcal M_3(\mathbf R)\). En effectuant les produits comme précédemment, on trouve \(\mathcal{AB}=\left(\begin{array}{cccccc}6&6\\-1&-2\end{array}\right)\) et \(\mathcal{BA}=\left(\begin{array}{cccccc}1&2&3\\1&2&3\\1&2&-2\end{array}\right)\).

Le résultat peut être aussi des matrices de même type (si les matrices\( \mathcal A\) et \(\mathcal B\) sont des matrices carrées de même type) mais non égales comme dans l'exemple 3.

Complément :

Soient les deux matrices appartenant à \(\mathcal M_2(\mathbf R),\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&1\\0&1\end{array}\right)\) et \(\mathcal B=\left(\begin{array}{cccccc}1&0\\0&0\end{array}\right)\), et . Alors les produits \(\mathcal{AB}\) et \(\mathcal{BA}\) ont tous les deux un sens et l'on trouve, dans les deux cas, une matrice appartenant aussi à \(\mathcal M_2(\mathbf R)\). En effectuant les produits comme précédemment, on trouve \(\mathcal{AB}=\left(\begin{array}{cccccc}1&0\\0&0\end{array}\right)\) et \(\mathcal{BA}=\left(\begin{array}{cccccc}1&1\\0&0\end{array}\right)\) . On peut remarquer que ces deux matrices sont différentes.

Il existe tout de même des matrices \(\mathcal A\) et \(\mathcal B\) telles que \(\mathcal{AB}=\mathcal{BA}\) par exemple si \(\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&1\\0&1\end{array}\right)\) et \(\mathcal B=\left(\begin{array}{cccccc}2&0\\0&2\end{array}\right)\) (le vérifier).