Matrices à n lignes et p colonnes

Soient\( \displaystyle{\mathcal A\in\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)}\) et \(\mathcal B\in\mathcal M_{p,q}(\mathbf K)\) et \(\mathcal C\in\mathcal M_{q,r}(\mathbf K)\). Alors les produits \(\mathcal{AB},(\mathcal{AB})\mathcal C,\mathcal{BC},\mathcal A(\mathcal{BC})\) ont un sens et l'on a l'égalité suivante dans \(\mathcal M_{n,r}(\mathbf K)\):

\((\mathcal{AB})\mathcal C=\mathcal A(\mathcal BC)\)

La vérification est immédiate en cherchant successivement, avec la formule générale du produit, le terme général de \(\mathcal{ AB}\), puis de \((\mathcal{AB})\mathcal C\), celui de \((\mathcal{BC})\), puis celui de \(\mathcal A(\mathcal{BC})\).