Matrices à n lignes et p colonnes

1) Soient $\mathcal A\in\mathcal M_{n,p}(\mathbf K),\mathcal B\in\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)$ et $\mathcal A\in\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)$. Alors la somme $\mathcal A+\mathcal B$ et les produits$(\mathcal A+\mathcal B)\mathcal C,\mathcal{AC},\mathcal{BC}$ ont un sens et on a l'égalité dans $\mathcal M_{n,q}(\mathbf K)$:

$\displaystyle{(\mathcal A+\mathcal B)\mathcal C=\mathcal{AC}+\mathcal{BC}}$ Distributivité à droite

2) Soient $\mathcal A\in\mathcal M_{n,p}(\mathbf K),\mathcal B\in\mathcal M_{p,q}(\mathbf K)$ et $\mathcal A\in\mathcal M_{p,q}(\mathbf K)$ . Alors la somme $\mathcal B+\mathcal C$ et les produits $\mathcal{AB},\mathcal{AC},\mathcal A(\mathcal B+\mathcal C)$ ont un sens et on a l'égalité dans $\mathcal M_{n,q}(\mathbf K)$:

$\displaystyle{\mathcal A(\mathcal B+\mathcal C)=\mathcal{AB}+\mathcal{AC}}$ Distributivité à gauche

La démonstration se fait comme celle de l'associativité.