Matrices à n lignes et p colonnes

1) Soient \(\mathcal A\in\mathcal M_{n,p}(\mathbf K),\mathcal B\in\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\) et \(\mathcal A\in\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\). Alors la somme \(\mathcal A+\mathcal B\) et les produits\( (\mathcal A+\mathcal B)\mathcal C,\mathcal{AC},\mathcal{BC}\) ont un sens et on a l'égalité dans \(\mathcal M_{n,q}(\mathbf K)\):

\(\displaystyle{(\mathcal A+\mathcal B)\mathcal C=\mathcal{AC}+\mathcal{BC}}\) Distributivité à droite

2) Soient \(\mathcal A\in\mathcal M_{n,p}(\mathbf K),\mathcal B\in\mathcal M_{p,q}(\mathbf K)\) et \(\mathcal A\in\mathcal M_{p,q}(\mathbf K)\) . Alors la somme \(\mathcal B+\mathcal C\) et les produits \(\mathcal{AB},\mathcal{AC},\mathcal A(\mathcal B+\mathcal C)\) ont un sens et on a l'égalité dans \(\mathcal M_{n,q}(\mathbf K)\):

\(\displaystyle{\mathcal A(\mathcal B+\mathcal C)=\mathcal{AB}+\mathcal{AC}}\) Distributivité à gauche

La démonstration se fait comme celle de l'associativité.