Equations à variables séparables
Définition :
On appelle équation différentielle à variables séparables une équation qui peut s'écrire
\(\displaystyle{y' = f(x) g(y)}\) (1).
Nous supposerons que les fonctions \(f\) et \(g\) sont dérivables, et que leurs dérivées sont continues.
Nous pouvons donc appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz : si on se donne des réels
\(x_0\) et \(y_0\) , il existe une solution \(y = u(x)\) et une seule vérifiant \(u(x_0) = y_0\) . Une telle solution est définie sur un certain intervalle \(I\) .
Nous allons montrer qu'on peut en général expliciter ces solutions.
Solutions constantes
Si \(g(y)\) s'annule en un point \(y_1\), la fonction constante \(u(x) = y_1\) est solution de (1).
A chaque racine de l'équation \(g(y) = 0\) correspond donc une solution constante.
En vertu de l'unicité évoquée ci-dessus, une solution non constante \(u(x)\) ne peut prendre aucune valeur \(y\) telle que \(g(y) = 0\).
Graphiquement, les solutions constantes ont pour graphes des horizontales, et le graphe d'une autre solution reste dans une des bandes ainsi délimitées.
La figure ci-dessous concerne l'équation \(\displaystyle{y' = x (y^2 - 1)}\).
Elle est à variables séparables : on a \(\displaystyle{f(x) = x \textrm{ et } g(y) = y ^2 - 1}\).
On a tracé les deux solutions constantes \(u_1(x) = 1\textrm{ et } u_2(x) = - 1\).
En cliquant sur un point qui n'est pas sur une de ces horizontales, vous verrez apparaître le graphe de la solution passant par ce point ; on peut observer que ces graphes ne croisent pas les droites \(y = 1\) et \(y = - 1\), même si elles s'en approchent très près.
Complément :
Si \(g(y_0) = 0\), la fonction constante \(u(x) = y_0\) est une solution.
Si une autre solution \(v(x)\) prenait la valeur \(y_0\) pour un certain \(x0\), on aurait
\(\displaystyle{u(x_0) = y_0 = v(x_0)}\),
ce qui contredirait le théorème d'unicité.
Solutions non constantes
Soit \(u\) une solution non constante, définie sur un intervalle \(I\). D'après ce qu'on a vu, si \(y = u(x)\), \(g(y)\) ne peut pas être nul. On peut donc écrire (1) sous la forme
\(\displaystyle{y'/g(y) = f(x)}\)
Théorème :
Soient \(F\) une primitive de \(f\), et \(G\) une primitive de \(1/g\). Alors il existe une constante \(C\) telle que, pour tout \(x\) de\(I\), \(\displaystyle{G(u(x)) = F(x) + C}\).
Dans la pratique, on cherche à résoudre en \(y\) l'équation \(\displaystyle{G(y) = F(x) + C}\) pour obtenir une expression de \(u(x)\). Ce n'est pas toujours possible.
Exemple : Exemple 1 :
`y^' = xy`
La fonction \(y = 0\) est une solution constante; les autres solutions ne s'annulent donc jamais. Une solution non constante \(y = u(x)\) vérifie
\(y'/y = x\), donc \(\displaystyle{\textrm{ln} |y| = x^2/2 + C}\), et les solutions s'écrivent \(\displaystyle{y = K\exp(x^2/2)}\)
Ces solutions sont définies sur \(\mathbb R\) tout entier.
Exemple : Exemple 2 :
\(y' = - x/y\)
L'equation n'existe que si \(y \ne 0\).
On a alors \(yy' = - x\), d'où \(y^2/2 + x^ 2/2 = C\).
On doit prendre la constante \(C\) positive; la formule \(y^2/2 + x^ 2/2 = C\) fournit alors deux solutions distinctes :
\(\displaystyle{y_1 = (2C - x^2 )^{1/2}}\) et \(\;y_2 = (2C - x^2 )^{1/2}\).
Ces deux solutions sont définies sur l'intervalle \(]- (2C)^{1/2} , (2C)^{1/2}[\) ; leurs graphes sont des demi-cercles centrés à l'origine.
La figure ci-dessous en montre quelques unes. vous pouvez cliquer sur la fenêtre pour en voir d'autres.