Equation différentielle liée à une famille de courbes donnée
Il s'agit dans cette page du problème inverse des précédents : connaissant une famille de fonctions, y-a-t-il une équation différentielle dont cette famille représente les solutions ?
Plus précisément, soit \(y = u(x, C)\) une fonction dérivable dépendant d'un paramètre \(C\). Sa dérivée par rapport à \(x\) est \(y' = u'(x, C)\).
On peut souvent éliminer \(C\) entre les deux équations \(\displaystyle{y = u(x, C)}\) et \(y' = u'(x, C)\).
On obtient alors une équation \(F(x, y, y') = 0\). C'est l'équation différentielle cherchée.
On obtient alors une équation \(F(x, y, y') = 0\). C'est l'équation différentielle cherchée.
L'équation \(F(x, y, y')\) est-elle partout définie ?
Dans quelle région du plan \((x, y)\) peut-elle se mettre sous la forme \(y' = f(x, y)\)?
Toutes les solutions de \(F(x, y, y')\) sont-elles de la forme \(y = u(x, C)\), c'est à dire appartiennent-elles à la famille initiale ?
Exemple : équation différentielle liée à une famille de paraboles.
Considérons la famille \(y = Cx^2 + x\) (pour \(C\) appartenant à \(\mathbb R\)).
Toutes ces courbes sont des paraboles passant par l'origine, et tangentes à l'origine à la droite \(y = x\).
La dérivation de \(\displaystyle{y = Cx^2 + x}\) donne \(\displaystyle{y' = 2Cx + 1}\) .
En éliminant \(C\) entre les équations \(\displaystyle{y = Cx^2 + x}\) et \(\displaystyle{xy' = 2Cx^2 + x}\) , on obtient
\(\displaystyle{xy' - 2y + x = 0}\) .
C'est l'équation cherchée.
Cette équation est partout définie, mais ce n'est que si \(x \neq 0\), soit en dehors de l'axe des \(y\), que l'on peut l'écrire sous la forme
\(\displaystyle{y' = 2 y/x -1}\)
L'équation \(\displaystyle{y' = 2 y/x -1}\) est une équation linéaire à coefficient variable (le coefficient de \(y\) est \(1/x\)) avec second membre, définie pour \(x \neq 0\).
La solution générale de l'équation homogène associée \(\displaystyle{y' = 2y/x}\) est la fonction \(\displaystyle{y = K x^2}\), définie soit pour \(x>0\), soit pour \(x<0\) (puisque que l'équation n'est pas définie pour \(x = 0\)).
Une solution particulière de \(\displaystyle{y' = 2 y/x -1}\) est \(y = x\) (définie aussi soit pour \(x>0\), soit pour \(x<0\)).
La solution générale de \(\displaystyle{y' = 2 y/x -1}\) est donc \(\displaystyle{y = K x^2 + x}\), définie soit pour \(x>0\), soit pour \(x<0\).
Toutes les fonctions \(\displaystyle{y = K x^2 + x}\) se prolongent par continuité en posant \(y(0) = 0\). On a toujours alors, quelque soit \(K\), \(y'(0) = 1\).
Si \(K_1\) et \(K_2\) sont deux réels quelconque, la fonction définie par \(\displaystyle{y = K_1 x^2 + x}\) si \(x<0\) , \(\displaystyle{y = K_2 x^2 + x}\) si \(x >0\), et \(y(0) = 0\) est continue, dérivable partout, même en \(x = 0\), et est solution de \(\displaystyle{xy' - 2y + x = 0}\): on peut ainsi "recoller" n'importe quelle solution définie pour \(x < 0\) avec n'importe quelle solution définie pour \(x > 0\).
Comme l'équation \(\displaystyle{xy' - 2y + x = 0}\) ne peut pas se mettre sous la forme \(y' = f(x,y)\) dans un voisinage de l'origine, cela ne contredit pas le théorème d'Unicité de Cauchy-Lipschitz.
On retrouve bien que toutes les fonctions \(y = Cx^2\) sont des solutions de \(\displaystyle{xy' - 2y + x = 0}\), mais ce ne sont pas les seules : une solution peut bifurquer à l'origine en changeant la valeur de \(C\).
Sur la figure ci-dessous, on voit quelques unes de ces solutions. En cliquant sur un point d'abscisse négative puis sur un point d'abscisse positive, on peut construire à sa guise une solution définie pour tout \(x\) réel. Vous la verrez en vert.