Equations différentielles linéaires du second ordre
Définition :
Une équation différentielle du second ordre est une équation portant sur une fonction inconnue \(y\), dans laquelle intervient sa dérivée seconde \(y"\).
Sa forme la plus générale est \(\displaystyle{F(x, y, y', y" ) = 0}\).
On n'étudiera ici qu'un type particulier d'équations : les équations linéaires à coefficients constants.
Equations linéaires homogènes du second ordre à coefficients constants
Il s'agit des équations de la forme :
\(\displaystyle{ay" + by' + cy = 0}\) (1)
avec \(a\),\(b\), \(c\) réels (a non nul).
On les appelle aussi équation sans second membre.
Espace des solutions :
Espace des solutions :
La fonction nulle \(y = 0\) est une solution de (1) ; de plus, si \(y_1(x)\) et \(y_2(x)\)sont deux solutions de (1) et \(\alpha\) et \(\beta\) des réels quelconques, la fonction \(\displaystyle{\alpha y_1(x) + \beta y_2(x)}\) est encore une solution : en d'autres termes, l'ensemble des solutions forme un espace vectoriel sur \(RR\) (c'est en fait un sous espace vectoriel de l'espace des fonctions de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\)).
On peut montrer que cet espace est toujours de dimension \(2\). Si on connaît deux solutions \(y_1\) et \(y_2\) non nulles et non proportionnelles, les fonctions \(\displaystyle{\alpha y_1 + \beta y_2}\) représentent donc toutes les solutions.
Complément :
Dire que \(y_1\) et \(y_2\) ne sont pas proportionnelles veut dire qu'il n'existe pas de constante réelle \(\lambda\) tel que, pour tout \(x\), \(\displaystyle{y_1(x) = \lambda y_2(x)}\) .
En termes d'espace vectoriel, cela signifie que \(y_1\) et \(y_2\) sont linéairemnt indépendantes, donc puisque l'espace des solutions est de dimension \(2\), elles en forment une base.
Expression des solutions :
On associe à l'équation différentielle (1) l'équation (non différentielle ! ) du second degré
\(\displaystyle{ar^2 + br + c = 0}\) (2).
On l'appelle équation caractéristique de l'équation (1) ; l'expression des solutions de (1) dépend du type des racines de (2).
Dans chaque cas, les solutions dépendent de deux constantes arbitraires \(\alpha\) et \(\beta\) .
Si l'équation (2) admet deux racines réelles distinctes \(r_1\) et \(r_2\), les solutions de (1) s'écrivent
\(\displaystyle{y = \alpha \textrm{e}^{r_1 x} + \beta \textrm{e}^{r_ 2x}}\)
Complément :
Vérifions d'abord que \(\displaystyle{y_1(x) = \textrm{e}^{r_1}1^x}\) est solution de \((2)\) :
On a \(\displaystyle{y'_1(x) = r_1 \textrm{e}^{r_ 1}1^x}\) et \(\displaystyle{y_1"(x) = r_1^2 \textrm{e}^{r_1}1^x}\) , donc \(\displaystyle{ay" + by' + cy = \textrm{e}^{r_1}1^x (ar_1^2 + br_1 + c) = 0}\).
De même, \(\displaystyle{y_2(x) = \textrm{e}^ {r}2^x}\) est aussi une solution.
Pour montrer que \(y_1\) et \(y_2\) engendrent toutes les solutions, il suffit de montrer qu'elles ne sont pas proportionnelles, c'est à dire qu'il n'existe pas de constante \(\lambda\) telle que, pour tout \(x\),
\(y_1(x) = \lambda . y_2(x)\).
Si c'était le cas, le rapport \(\displaystyle{\textrm{e}^{r_1x}/ \textrm{e}^{r2x}}\) serait constant, ce qui est faux.
Si l'équation (2) admet deux racines complexes non réelles, ces racines sont conjuguées et s'écrivent \(\displaystyle{r\pm is}\);
Les solutions de (1) sont dans ce cas :
\(\displaystyle{{y = \textrm{e}^{rx} (\alpha \cos(sx) + \beta \sin(sx))}}\) .
On peut aussi les écrire
\(\displaystyle{{y = A\textrm{e}^{rx} \cos (sx + \Phi)}}\) ;
où \(A\) et \(\Phi\) sont des constantes arbitraires.
Complément :
On sait que \(r + is\) est solution de (2), donc \(\displaystyle{a(r + is) ^2 + b(r + is) + c = 0}\); en séparant les parties réelles et imaginaires, on trouve
\(\displaystyle {a(r^2 - s ^2) + br + c = 0}\) et \(\displaystyle{2ars + bs = 0}\).
Vérifions que \(\displaystyle{y_1(x) = \textrm{e}^{rx} \cos sx}\) est solution de (1) :
on trouve \(\displaystyle{y_1' = \textrm{e}^{rx} (r \cos sx - s \sin sx)}\),
\(\displaystyle{y"_1 = \textrm{e}^{rx} [(r^2 - s^2) \cos sx - 2rs \sin sx]}\) .
Donc \(\displaystyle{a y"_1+ by'_1 + c = \textrm{e}^{rx} [(a(r^2 - s^2) + br + c) \cos sx - (2ars + bs) \sin sx] = 0}\) .
De même, \(\displaystyle{y_2 = \textrm{e}^{rx} \sin sx}\) est solution de (1) ; les fonctions \(y_1\) et \(y_2\) n'étant pas proportionnelles (si c'était le cas, elles s'annuleraient en même temps), elles engendrent toutes les solutions de (1).
Si l'équation (2) admet une racine double \(r\) (nécessairement réelle) , les solutions sont :
\(\displaystyle{y = (\alpha x + \beta)\textrm{e}^{rx}}\)
Complément :
Comme les fonctions \(\displaystyle{\textrm{e}^{rx}}\) et \(x\textrm{e}^{rx}\) ne sont pas proportionnelles, il suffit de vérifier que chacune est solution de (1) pour en déduire qu'elles engendrent toutes les solutions.
Vérifions que \(\displaystyle{y_1(x) = \textrm{e}^{rx}}\) est solution de (1) :
on a \(\displaystyle{y'_1 = r\textrm{e}^{rx}}\) et \(\displaystyle{y"_1 = r^2\textrm{e}^{rx}}\),
donc a \(\displaystyle{y"_1 + by'_1 + cy = \textrm{e}^{rx} (ar^2 + br + c) = 0}\).
Vérifions maintenant que \(\displaystyle{y_2(x) = x\textrm{e}^{rx}}\) est aussi solution de (1) :
Puisque \(r\) est une racine double, on a \(\displaystyle{2ar + b = 0}\).
D'autre part, on trouve \(\displaystyle{y' = (xr + 1) \textrm{e}^{rx}}\) et \(\displaystyle{y" = (xr^2 + 2r) \textrm{e}^{rx}}\), donc \(\displaystyle{ay"_1 + by'_1 + cy =\textrm{e}^{rx}[(ar^2 + br + c) + (xr^2 + 2r)] = 0}\).
Si l'équation (2) admet deux racines complexes non réelles, ces racines sont conjuguées et s'écrivent \(r \pm is\);
Les solutions de (1) sont dans ce cas :
\(\displaystyle{y = \textrm{e}^{rx} (\alpha \cos (sx)) + \beta \sin (sx))}\)
On peut aussi les écrire
\(\displaystyle{y = A\textrm{e}^{rx} \cos(sx + \Phi)}\) ,
où \(A\) et \(\Phi\) sont des constantes arbitraires.
Complément :
On sait que \(r + is\) est solution de (2), donc \(\displaystyle{a(r + is) ^2 + b(r + is) + c = 0}\); en séparant les parties réelles et imaginaires, on trouve
\(\displaystyle{a(r^2 - s^2) + br + c = 0}\) et \(2ars + bs = 0\).
Vérifions que\(\displaystyle{y_1(x) = \textrm{e}^{rx} \cos sx}\) est solution de (1) :
on trouve \(\displaystyle{y'_1 = \textrm{e}^{rx} (r \cos sx - s \sin sx)}\),
\(\displaystyle{y"_1 = \textrm{e}^{rx} [(r^2 - s^2) \cos sx - 2rs \sin sx]}\) .
Donc \(\displaystyle{a y"_1 + by'_1 + c = \textrm{e}^{rx} [(a(r^2 - s^2) + br + c) \cos sx - (2ars + bs) \sin sx] = 0}\) .
De même, \(\displaystyle{y_2 = \textrm{e}^{rx} \sin sx}\) est solution de (1) ; les fonctions \(y_1\) et \(y_2\) n'étant pas proportionnelles (si c'était le cas, elles s'annuleraient en même temps), elles engendrent toutes les solutions de (1).
Si l'équation (2) admet une racine double \(r\) (nécessairement réelle) , les solutions sont :
\(\displaystyle{y = (\alpha x + \beta) \textrm{e}^{ rx}}\) .
Complément :
Comme les fonctions \(\displaystyle{\textrm{e}^{rx}}\) et \(\displaystyle{x\textrm{e}^{rx}}\) ne sont pas proportionnelles, il suffit de vérifier que chacune est solution de (1) pour en déduire qu'elles engendrent toutes les solutions.
Vérifions que \(\displaystyle{y_1(x) = \textrm{e}^{rx}}\) est solution de (1) :
on a \(\displaystyle{y'_1 = r\textrm{e}^{rx}}\) et \(\displaystyle{y"_1 = r^2 \textrm{e}^{rx}}\),
donc \(\displaystyle{ay"_1 + by'_1 + cy = \textrm{e}^{rx} (a^ 2 + br + c) = 0}\).
Vérifions maintenant que \(\displaystyle{y_2(x) = x\textrm{e}^{rx}}\) est aussi solution de (1) :
Puisque \(r\) est une racine double, on a \(\displaystyle{2ar + b = 0}\).
D'autre part, on trouve \(\displaystyle{y' = (xr + 1) \textrm{e}^{rx}}\) et \(\displaystyle{y" = (xr^2 + 2r) \textrm{e}^{rx}}\), donc \(\displaystyle{ay"_1 + by'_1 + cy = \textrm{e}^{rx}[(ar^2 + br + c) + (xr^2 + 2r)] = 0}\) .
Les solutions trouvées sont définies sur \(\mathbb R\) tout entier. Remarquez que, contrairement au cas des équations du premier ordre, il y a une infinité de solutions dont le graphe passe par un point (\(x_0\), \(y_0\)) donné.
En revanche, si l'on se donne les valeurs de \(y\) et de \(y'\) en un \(x_0\) fixé (souvent \(x_0 = 0\)), il existe une solution unique qui remplit ces conditions .
Complément :
Vérifions le par exemple dans le cas où l'équation caractéristique admet deux racines complexes \(r \pm is\) (avec \(s\) non nul).
On a \(\displaystyle{y = \textrm{e}^{rx} (u \cos sx + v \sin sx)}\), et donc \(\displaystyle{y' = \textrm{e}^{rx} [u (r\cos sx - s \sin sx) + v(r \sin sx + s \cos sx)]}\).
On est ramené à trouver les constantes u et v comme solution du système
\(\displaystyle{u \cos sx_0 + v \sin sx_0 = \textrm{e} {-rx_0} y_0}\)
\(\displaystyle{u (r \cos sx_0 - s \sin sx_0) + v (r \sin x_0 + s \cos sx_0) = \textrm{e}^{-rx_0} v_0}\)
soit encore
\(\displaystyle{u \cos sx_0 + v \sin sx_0 = \textrm{e}^{-rx_0} y_0}\)
\(\displaystyle{u (- s \sin sx_0) + v ( s \cos sx_0) = \textrm{e}^{-rx_0} (v_0 - ry_0)}\).
Ce système a pour déterminant \(s\), qu'on a supposé non nul, et admet donc une solution unique.
Les solutions trouvées sont définies sur\(\mathbb R\) tout entier. Remarquez que, contrairement au cas des équations du premier ordre, il y a une infinité de solutions dont le graphe passe par un point \((x_0, y_0)\) donné.
En revanche, si l'on se donne les valeurs de \(y\) et de \(y'\) en un \(x_0\) fixé (souvent \(x_0 = 0\)), il existe une solution unique qui remplit ces conditions .
Complément :
Vérifions le par exemple dans le cas où l'équation caractéristique admet deux racines complexes \(r \pm is\) (avec \(s\) non nul).
On a \(\displaystyle{y = \textrm{e}^{rx} (u \cos sx + v \sin sx)}\), et donc \(\displaystyle{y' = \textrm{e}^{rx} [u (r\cos sx - s \sin sx) + v(r \sin sx + s \cos sx)]}\).
On est ramené à trouver les constantes u et v comme solution du système
\(\displaystyle{u \cos sx_0 + v \sin sx_0 = \textrm{e}^{-rx_0} y_0}\)
\(\displaystyle{u (r \cos sx_0 - s \sin sx_0) + v (r \sin x_0 + s \cos sx_0) = \textrm{e}^{-rx_0} v_0}\)
soit encore
\(\displaystyle{u \cos sx_0 + v \sin sx_0 = \textrm{e}^{-rx_0} y_0}\)
\(\displaystyle{u (- s \sin sx_0) + v ( s \cos sx_0) = \textrm{e}^{-rx0} (v_0 - ry_0)}\) .
Ce système a pour déterminant \(s\), qu'on a supposé non nul, et admet donc une solution unique.
Les constantes \(\alpha\) et \(\beta\) peuvent être calculées en fonction de ces conditions initiales \(y(x_0)\) et \(v_0 = y'(x_0)\).
Complément :
Cherchons la solution de \(\displaystyle{y'' + 2y' +2 = 0}\) vérifiant \(\displaystyle{y(0) = 1}\) et \(\displaystyle{y'(0) = 2}\);
L'équation caractéristique \(\displaystyle{r^2 + 2r + 2}\)admet les racines complexes \(- 1 + i\) et \(- 1 - i\).
La solution générale est donc
\(\displaystyle{y = \textrm{e}^{-x} (\alpha \cos x + \beta \sin x)}\), et l'on a \(\displaystyle{y' = \textrm{e}^{-x} [(\beta - \alpha) \cos x - (\alpha + \beta) \sin x]}\).
Au point \(x = 0\), on a
\(y(0) = a\) ,
\(\displaystyle{y'(0) = \beta - \alpha}\).
Les conditions initiales imposent alors \(\alpha = 1\) et \(\beta - \alpha = 2\), donc \(\beta = 3\), et la solution cherchée est \(\displaystyle{y(x) = \textrm{e}^{-x} (\cos x + 3 \sin x)}\) .
Equations du second ordre à coefficients constants avec second membre.
Il s'agit maintenant des équations de la forme
\(\displaystyle{ay'' + by' + cy = f(x)}\) (2)
où \(a\), \(b\), \(c\) sont des réels (a non nul), et \(f(x)\) une fonction dérivable à valeurs réelles.
Ensemble des solutions :
Appelons équation homogène associée l'équation \(\displaystyle{ay'' + by' + cy = 0}\). Nous savons trouver les solutions de cette équation homogène (voir page précédente).
Supposons que nous connaissions une solution \(p(x)\) de l'équation (2). Alors, si \(u(x)\) est une solution quelconque de l'équation homogène, la fonction \(p(x) + u(x)\) est aussi une solution de l'équation (2). Ainsi, si l'on sait trouver une solution de (2), on peut en déduire une infinité d'autres. En fait, on obtient alors toutes les solutions de l'équation (2) :
Théorème :
Soit \(p(x)\) une solution de l'équation \(\displaystyle{ay'' + by' + cy = f(x)}\) (2). Alors une fonction deux fois dérivable \(v(x)\) est aussi solution de l'équation (2) si et seulement si la fonction \(u(x) = v(x) - p(x)\) est solution de l'équation homogène \(\displaystyle{ay'' + by' + cy = 0}\).
Tout le problème est maintenant de trouver une solution particulière de l'équation \(\displaystyle{ay" + by' + cy = f(x)}\).
Dans la pratique, c'est la forme de la fonction \(f\) qui nous indiquera sous quelle forme chercher la solution particulière.
Si \(f(x)\) est un polynôme de degré \(n\):
Chercher une solution qui soit un polynôme de degré \(n\).
Complément :
Cherchons les solutions de l'équation
\(\displaystyle{y'' - y' - 2y = 2x^2}\) (1)
L'équation \(r^2 - r - 2\) admet les racines \(- 1\) et \(2\).
Les solutions de l'équation homogène associée sont donc \(\displaystyle{A \textrm{e}^{-x} + B \textrm{e}^{2x}}\).
Cherchons une solution sous la forme d'un polynome du second degré \(\displaystyle{y = a x^2 + bx + c}\)
On a \(y' = 2ax\) et \(y'' = 2a\).
En remplaçant dans l'équation, on trouve
\(\displaystyle{- 2 a x^2 + (- 2a - 2b) x + 2a - b - 2c = 2x^2}\)
d'où \(a = - 1\), \(b = 1\), \(c = -3/2\).
La solution générale de (1) est
\(\displaystyle{u(x) = A \textrm{e}^{-x} + B \textrm{e}^{2x} - x^2 + x - 3/2}\).
Si \(f(x)\) est de la forme \(\displaystyle{K \textrm{e}^{rx}}\), avec \(\displaystyle{ar^2 + br + c \ne 0}\):
Chercher une solution de la forme \(d \textrm{e}^{rx}\).
Complément :
Cherchons les solutions de l'équation
\(\displaystyle{y'' - y' - 2y = \textrm{e}^{3x}}\) (1)
Les solutions de l'équation homogène associée sont \(\displaystyle{A \textrm{e}^{-x} + B \textrm{e}^{2x}}\).
Comme \(3\) n'est pas racine du polynome \(r^2 - r - 2\), cherchons une solution sous la forme \(\displaystyle{y = a \textrm{e}^{3x}}\).
On a \(\displaystyle{y'=3a\textrm{e}^{3x}}\) et \(\displaystyle{y'' = 9a\textrm{e}^{3x}}\).
En remplaçant dans l'équation, on trouve
\(\displaystyle{(9a -3a - 2a ) \textrm{e}^{3x} = \textrm{e}^{3x}}\) d'où \(a = 1/4\).
La solution générale de (1) est
\(\displaystyle{u(x) = A \textrm{e}^{-x} + B \textrm{e}^{2x} + 1/4 \textrm{e}^{3x}}\).
Si \(f(x)\) est de la forme \(\displaystyle{K \textrm{e}^{rx}}\) avec \(\displaystyle{ar^2 + br + c = 0}\):
Chercher une solution de la forme \(\displaystyle{\textrm{d}x \textrm{e}^{rx}}\) (ou \(\textrm{d}x^2 \textrm{e}^{rx}\) si \(r\) est racine double).
Complément :
Cherchons les solutions de l'équation
\(\displaystyle{y'' - y' - 2y = \textrm{e}^{2x}}\) (1)
Les solutions de l'équation homogène associée sont \(\displaystyle{A \textrm{e}^{-x} + B \textrm{e}^{2x}}\).
Comme \(2\)est racine simple du polynome \(r^2 - r - 2\), on cherche une solution sous la forme \(\displaystyle{y = (ax + b) \textrm{e}^{2x}}\).
Puisque \(- b \textrm{e}^{2x}\) est solution de l'équation homogène, on peut même chercher la solution particulière sous la forme \(ax \textrm{e}^{2x}\).
On a \(\displaystyle{y' = (2ax + a)\textrm{e}^{2x}}\) et \(\displaystyle{y'' = (4ax + 4a)\textrm{e}^{2x}}\).
En remplaçant dans (1), on trouve \(3a = 1\), donc \(a = 1/3\).
La solution générale de (1) est \(\displaystyle{u(x) = A \textrm{e}^{-x} + B \textrm{e}^{2x} + 1/3 x \textrm{e}^{2x}}\).
Si \(f(x)\) est de la forme \(\displaystyle{p(x) \textrm{e}^{rx}}\), où \(p(x)\) est un polynôme de degré \(n\): Chercher une solution de la forme \(\displaystyle{q(x) \textrm{e}^{rx}}\), où \(q(x)\) est un polynôme de degré \(n\) si \(\displaystyle{ar^2 + br + c \ne 0}\), et de degré \(n + 1\) si \(\displaystyle{ar2 + br + c = 0}\) (ou même \(n + 2\) si \(r\) est racine double).
Complément :
Cherchons les solutions de l'équation \(\displaystyle{y'' - y' - 2y = x\textrm{e}^x}\) (1)
Les solutions de l'équation homogène associée sont \(\displaystyle{A \textrm{e}^{-x} + B \textrm{e}^{2x}}\).
Comme \(1\) n'est pas racine du polynome \(\displaystyle{r^2 - r - 2}\), on cherche une solution sous la forme \(\displaystyle{y = (ax + b) \textrm{e}^x}\).
On a \(\displaystyle{y' = (ax + a + b)\textrm{e}^x}\) et \(\displaystyle{y'' = (ax + 2a + b)\textrm{e}^x}\).
En remplaçant dans (1), on trouve \(\displaystyle{(-2ax + a - 2b) \textrm{e}^x = x \textrm{e}^x}\), donc \(a = -1/2\) et \(b = -1/4\).
La solution générale de (1) est \(\displaystyle{u(x) = A \textrm{e}^{-x} + B \textrm{e}^{2x} - (x/2 + 1/4) \textrm{e}^x}\).
Si \(f(x)\) est de la forme \(\displaystyle{d \cos rx + e \sin rx}\):
Chercher une solution de la forme \(\displaystyle{g \cos rx + h \sin rx}\) (ou \(\displaystyle{x(g \cos rx + h \sin rx)}\) si \(\cos rx\) est solution de l'équation homogène).
Complément :
Cherchons les solutions de l'équation \(\displaystyle{y'' - y' - 2y = \sin(2x)}\) (1)
Les solutions de l'équation homogène associée sont \(\displaystyle{A \textrm{e}^{-x} + B \textrm{e}^{2x}}\).
On cherche une solution sous la forme \(\displaystyle{y = a \cos(2x) + b \sin (2x)}\)
On a \(\displaystyle{y' = 2b \cos(2x) - 2a \sin (2x)}\) et \(\displaystyle{y'' = - 4 a \cos(2x) - 4b \sin (2x)}\).
En remplaçant dans (1), on trouve \(\displaystyle{(- 6a - 2b) \cos(2x) + (- 6b + 2a) \sin(2x) = \sin(2x)}\), donc \(\displaystyle{3a + b = 0}\) et \(\displaystyle{(- 6b + 2a) = 1}\), soit \(\displaystyle{a = 1/20}\) et \(\displaystyle{b = -3/20}\) .
La solution générale de (1) est \(\displaystyle{u(x) = A \textrm{e}^{-x} + B \textrm{e}^{2x} + 1/20 \cos (2x) -3/20 \sin (2x)}\).
Si \(f(x)\) est la somme de plusieurs fonctions \(f_1(x), . . . , f_p(x)\) qui sont chacune d'un des types ci-dessus :
Chercher (pour \(i\) de \(1\) à \(p\)) une solution particulière `s_i(x)` de chacune des équations
\(\displaystyle{ay'' + by' + cy = f_i(x)}\).
La fonction \(\displaystyle{s(x) = s_1(x) + . . . + s_p(x)}\) sera solution de \(\displaystyle{ay'' + by' + cy = f(x)}\).