Equations linéaires du premier ordre à coefficients constants

Une équation différentielle du premier ordre linéaire à coefficient constant est une équation de la forme

\(\displaystyle{y'= ay + b(x)}\)

c'est le coefficient de \(y\) qui est constant.

L'équation homogène

\(y' = ay\)

Ce type d'équation est souvent appelé un peu abusivement équation sans second membre.

La fonction nulle \(y = 0\) est une solution. Les autres s'obtiennent en écrivant \(y'/y = a\) et en prenant une primitive de chaque membre ; on obtient

\(\displaystyle{\textrm{ln} |y| = ax + C}\)

\(C\) est une constante arbitraire. Pour chaque valeur de \(C\), cela donne deux solutions, l'une toujours positive \(\displaystyle{y = \textrm{e} ^C \textrm{e}^{ ax}}\) , l'autre toujours négative \(\displaystyle{y = - \textrm{e}^C \textrm{e}^{ax}}\).

On retrouve toutes ces solutions, y compris la solution nulle , en disant que la solution générale de \(y' = ay\) est

\(\displaystyle{y(x) = K \textrm{e}^{ax}}\)

\(K\) est une constante arbitraire. Remarquons que \(K\) est la valeur de la solution en \(x = 0\); on écrit donc souvent

\(\displaystyle{y(x) = y(0) \textrm{e}^{ax}}\).

Quelques-unes de ces solutions sont représentées ci-dessous.

Sur ce graphique, cliquez sur les boutons pour changer la valeur du paramètre \(a\).

Remarquez en particulier ce qui se passe quand \(a\) change de signe.

Complément

On rappelle que, si \(y_1\) et \(y_2\) sont deux solutions distinctes, alors pour tout \(x\) , \(y_1(x)\) est différent de \(y_2(x)\).

Les solutions autres que \(y = 0\) ne s'annulent donc jamais.

Complément

Si \(K = 0\) on a la solution nulle,

si \(K > 0\) il peut s'écrire \(K = \textrm{e}^C\)

et si \(K < 0\) il peut s'écrire \(K = - \textrm{e}^C\)

pour un certain réel \(C\).

Equation différentielle y'=ax

L'équation linéaire à coefficient constant avec second membre

\(y' = ay + b(x)\) (2)

La fonction \(b(x)\) est définie et continue sur un intervalle \(I\).

Si \(y_1\) et \(y_2\) sont deux solutions de (2), alors \(y = y_1 - y_2\) est une solution de l'équation (1) \(y' = a y\) (qu'on appelle équation homogène, ou encore équation "sans second membre", associée à (1)).

Complément

En effet,

\(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}y' & = & y'_1-y'_2\\& = & (ay_1+b(x))-(ay_2+b(x))\\& = & a(y_1-y_2)=ay\end{array}}\)

Donc si on connaît une solution \(y_1\) de (2), toutes les solutions de cette équation s'écrivent :

\(\displaystyle{y(x) = y_1 (x) + K\textrm{e}^{ax}}\),

\(K\) est une constante réelle arbitraire.

Méthode générale pour trouver une solution particulière

On cherche la solution particulière sous la forme

\(\displaystyle{y_1(x) = C(x) \textrm{e}^{ax}}\).

La fonction \(\displaystyle{C(x) = y_1 \textrm{e}^{-ax}}\) vérifie alors

\(\displaystyle{C'(x) = b(x) \textrm{e}^{-ax}}\).

Complément

En effet, posons \(z = C(x) = y \textrm{e}^{-ax}\)

\(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}z' & = & y'\textrm{e}^{ax}-ay\textrm{e}^{-ax}\\& = & (y'-ay)\textrm{e}^{-ax}\end{array}}\)

et comme \(y' - ay = b(x)\), puisque \(y\) est solution de (2), on a finalement

\(\displaystyle{z' = b(x) \textrm{e}^{-ax}}\).

La fonction \(C(x)\) doit donc être une primitive de \(b(x) \textrm{e}^{-ax}\).

Complément

Souvent, trouver explicitement une telle primitive se révèle difficile, voire impossible.

Dans, ce cas, on laisse dans l'expression de la solution le terme "\(C(x)\)"

ou l'expression \(\displaystyle{\in t b(x) e^{-ax} dx}\) et on dit quand même qu'on a résolu l'équation différentielle !

Si \(C(x)\) est une telle primitive, \(y_1= C(x) \textrm{e}^{ax}\) est une solution particulière, et la solution générale de l'équation s'écrit

\(\displaystyle{y(x) = (C(x) + K) \textrm{e}^{ax}}\).

Remarque

La méthode qui vient d'être exposée est connue sous le nom de méthode de variation de la constante. En effet, elle consiste pour l'essentiel à remplacer la constante \(K\) présente dans la solution générale de l'équation homogène par une fonction "variable" \(C(x)\) bien choisie pour obtenir une solution de l'équation avec second membre.

Vous trouverez page suivante une méthode souvent plus rapide, mais qui ne marche que pour certains types de fonctions \(b(x)\).

Comment deviner une solution particulière de y' = ay + b(x) ?

La méthode de variation des constantes exposée précedemment marche toujours ; cependant, dans bien des cas, il existe une solution particulière \(u(x)\) qui "ressemble" à  \(b(x)\) . Le type de la fonction \(b(x)\) nous indique sous quelle forme la chercher, et il ne reste plus qu'à ajuster les coefficients. Cela conduit en général à des calculs plus simple que la méthode de variation des constantes.

Les exemples ci-dessous montrent comment s'y prendre pour trouver une telle solution particulière \(u(x)\). La solution générale de \(y' = ay + b(x)\) sera alors, évidemment, \(\displaystyle{u(x) + K \textrm{e}^{ax}}\).

  • Si \(b(x)\) est un polynôme de degré  \(n\):

    Chercher une solution qui soit un polynôme de degré \(n\).

Complément

Cherchons une solution de

\(\displaystyle{y' = 2y + x^2 + 1}\).

Posons \(\displaystyle{y = ax^2 + bx + c}\) et remplaçons dans l'équation.

\(\displaystyle{2ax + b = 2ax^2 + 2bx + 2c + x^2 + 1}\).

en identifiant, on trouve

\(a = - 1/2\) ,\(b = - 1/2\), \(c = - 3/4\).

Une solution est \(\displaystyle{y = - 1/2 x^2 - 1/2x - 3/4}\)

  • Si \(b(x)\) est de la forme \(c \textrm{e}^{rx}\), avec \(r\) différent de a :

    Chercher une solution de la forme \(d \textrm{e}^{rx}\) .

Complément

Cherchons une solution de

\(\displaystyle{y' = y + \textrm{e}^{3x}}\) .

Posons \(y = \textrm{de}^{3x}\) et remplaçons dans l'équation :

\(\displaystyle{3\textrm{de}^{3x} = \textrm{de}^{3x} + \textrm{e}^{3x }}\)donc \(\textrm{ d} = 1/2\).

Une solution est \(\displaystyle{y = 1/2 \textrm{e}^{3x}}\).

  • Si \(b(x)\) est de la forme  \(c \textrm{e}^{ax}\):

    Chercher une solution de la forme \(\textrm{dx} \textrm{e}^{ax}\) .

Complément

Cherchons une solution de

\(y' = 3y - \textrm{e}^{3x}\) .

Posons \(\displaystyle{y = \textrm{dx}e^{3x}}\) et remplaçons dans l'équation :

\(\displaystyle{3\textrm{dx}\textrm{e}^{3x} + \textrm{d}\textrm{e}^{3x} = 3\textrm{dx}\textrm{e}^{3x} - \textrm{e}^{3x}}\)

donc \(d = - 1\).

Une solution est \(y = - x\textrm{e}^{3x}\).

  • Si \(b(x)\) est de la forme \(p(x) \textrm{e}^{rx}\), où \(p(x)\) est un polynôme de degré  `n`: Chercher une solution de la forme \(q(x) \textrm{e}^{rx}\), où \(q(x)\) est un polynôme de degré \(n\) si \(r\) est différent de \(a\) , et de degré \(n + 1\) si \(r = a\) .

Complément

Cherchons une solution de

\(\displaystyle{y' = 2y + x\textrm{e}^{x}}\) .

Posons \(\displaystyle{y = (cx + d) \textrm{e}^x}\) et remplaçons dans l'équation :

\(\displaystyle{(c + cx + d) \textrm{e}^x = (2cx + 2d + x) \textrm{e}^x}\)

donc en identifiant \(c = d = - 1\).

Une solution est \(\displaystyle{y = - (x + 1) \textrm{e}^x}\).

Complément

Cherchons une solution de

\(\displaystyle{y' = 2y + (x + 1) \textrm{e}^{2x}}\).

Posons \(\displaystyle{y = (cx^2 + dx + f) \textrm{e}^{2x}}\) et remplaçons dans l'équation :

\(\displaystyle{(2cx^2 + 2dx + 2f + 2cx + d) \textrm{e}^{2x}}\)

donc en identifiant \(c = 1/2\), \(d = 1\), \(f\) quelconque.

Une solution est \(\).

  • Si \(b(x)\) est de la forme  \(c \cos rx + d \sin rx\):

    Chercher une solution de la forme \(f \cos rx + g \sin rx\) .

Complément

Cherchons une solution de

\(\displaystyle{y' = y + \sin x}\).

Posons \(\displaystyle{y = f\cos x + g \sin x}\) et remplaçons dans l'équation :

\(\displaystyle{y' = - f \sin x + g \cos x = f \cos x + g \sin x + \sin x}\)

donc \(- f = g + 1\) et \(g = f\) d' où \(f = g = - 1/2\).

Une solution est \(\displaystyle{y = - 1/2 \sin x - 1/2 \cos x}\).

  • Si \(b(x)\) est la somme de plusieurs fonctions \(b_1(x),..., b_p(x)\) qui sont chacune d'un des types ci-dessus :

    Chercher (pour \(i\) de \(1\) à \(p\)) une solution particulière \(s_i(x)\) de chacune des équations

    \(y' = ay + b_i(x)\) .

    La fonction \(\displaystyle{s(x) = s_1(x) + ... + s_p(x)}\) sera solution de \(\displaystyle{y' = ay + b(x)}\) .

Complément

Cherchons une solution de

\(\displaystyle{y' = y + 2x + \sin x}\) (1).

Une solution de \(\displaystyle{y' = y + 2x}\) est \(\displaystyle{y = - 2x - 2}\).

Une solution de \(\displaystyle{y' = y + \sin x}\) est \(\displaystyle{y = - 1/2 \sin x - 1/2 \cos x}\).

Donc \(\displaystyle{y = - 2x - 2 - 1/2 \sin x - 1/2 \cos x}\) est solution de (1).

Equations linéaires à coefficients variables

Ce sont les équations de la forme

\(y' = a(x) y + b(x)\)

où les fonctions \(a(x)\) et \(b(x)\) sont continues sur un intervalle \(I\) (le coefficient de \(y\) est maintenant une fonction de \(x\)).

L'équation sans second membre \(y' = a(x) y\) (1)

La fonction \(y = 0\) est une solution, définie sur \(I\) tout entier.

Les autres s'obtiennent en écrivant \(y'/y = a(x)\).

Si \(A(x)\) est une primitive de \(a(x)\), les solutions de (1) sont les fonctions de la forme

\(y = Ke^{A(x)}\) ,

\(K\) est une constante réelle arbitraire.

Si l'intervalle \(I\) contient \(0\), et que \(A(x)\) est la primitive de \(a(x)\) qui s'annule en \(0\) (c'est à dire )\(\displaystyle{\in t_0^x a(t) \textrm{d}t}\), alors \(K\) est la valeur de \(y\) en \(x = 0\).

Remarquons que toutes les solutions de (1) sont définies sur l'intervalle \(I\) tout entier.

ExempleExemple 1 :

\(y' = xy\)

Ici, \(a(x) = x\), donc la primitive de \(a(x)\) qui s'annule en \(0\) est \(A_0(x) = x^2/2\).

Les solutions sont donc de la forme \(y = y(0) \textrm{e}^{x^2/2}\).

Ces solutions sont définies sur \(\mathbb R\) tout entier, et paires. Elles tendent vers l'infini (avec le signe de \(y(0)\) ) quand \(\displaystyle{x\to \pm\infty}\)

Solutions de l'équation différentielle y'=xy

ExempleExemple 2 :

\(y' = - xy\)

Ici, \(a(x) = - x\), donc la primitive de \(a(x)\) qui s'annule en \(0\) est \(A_0(x) = - x 2/2\). Les solutions sont donc de la forme \(y = y(0) \textrm{exp}(-x^2/2)\).

Ces solutions sont définies sur \(\mathbb R\) tout entier, et paires. Elles tendent toutes vers \(0\) quand \(x \to \pm\infty\) .

Solutions de l'équation différentielle y'=-xy

L'équation linéaire à coefficient variable avec second membre

\(y' = a(x) y + b(x)\) (2)

Les fonctions \(a(x)\) et \(b(x)\) sont définies et continues sur un intervalle  \(I\); on dit que la fonction \(b(x)\) est le second membre de l'équation.

Si \(y_1\) et \(y_2\) sont solutions de (2), \(y_2 - y_1\) est solution de l'équation (1) \(y' = a(x) y\) .

Complément

En effet,

\(\displaystyle{y_2 - y_1 = a(x)y_2' + b(x) - (a(x) y_1' + b(x)) = a(x) (y_2 - y_1)}\) .

Donc si on connait une solution \(y_1\) de (2), toutes les solutions de cette équation s'écrivent

\(\displaystyle{y(x) = y_1(x) + K\textrm{e}^{A(x)}}\),

\(K\) est une constante réelle arbitraire, et \(A(x)\) une primitive de \(a(x)\).

Exemple

\(y' = xy - x\)

On remarque que la fonction constante \(y = 1\) est une solution.

Les solutions de cette équation s'écrivent donc \(\displaystyle{y = 1 + K\textrm{e}^{x^2/2}}\).

Méthode générale pour trouver une solution particulière

Soit \(y\) une solution de (2) ; si on pose \(z = y\textrm{e}^{ -A(x)}\), \(z\) est solution de \(\displaystyle{z' = b(x) \textrm{e}^{-A(x)}}\) .

Complément

En effet,

si \(\displaystyle{z(x) = y(x) e^{-A(x)}}\),

\(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}z'(x) & = & y'(x) \textrm{e}^{-A(x)} - A'(x) y(x) \textrm{e}^{-A(x)}\\& = & (a(x)y+b(x))\textrm{e}^{A(x)}-a(x)y\textrm{e}^{-A(x)}\\ & = & b(x)\textrm{e}^{-A(x)}\end{array}}\)

Si \(C(x)\) est une primitive de \(b(x) \textrm{e}^{-A(x)}\), on obtient donc une solution de (2) en posant \(y = C(x) \textrm{e}^{A(x)}\).

Dans la pratique, on peut chercher directement une solution particulière de (2) sous la forme \(y = C(x) \textrm{e}^{A(x)}\) en remplaçant dans (2) . C'est pour cela qu'on appelle cette méthode variation de la constante.

Exemple

Résolvons pour \(x > 0\), l'équation \(y' = y/x + 1\).

L'équation homogène associée,\(y' = y/x\), a pour solution générale \(y = K x\) (ici, \(A(x) = \textrm{ln}(x)\)).

On cherche une solution particulière de \(y' = y/x + 1\) sous la forme \(y = C(x) x\).

On trouve \(y' = C'(x) x + C(x)\) et \(y/x + 1 = C(x) + 1\) d'où \(C'(x) = 1/x\) et on peut prendre \(C(x) = \textrm{ln}(x)\).

Une solution particulière est donc \(y = x \textrm{ln}(x)\) (pour \(x > 0\) ), et la solution générale est \(y = x \textrm{ln}(x) + K x\) (\(x > 0\))

Parfois on ne peut pas trouver explicitement la primitive cherchée, on laisse le résultat sous la forme d'une intégrale.

Complément

Cherchons une solution particulière de

\(y' = xy + 3\) .

En posant \(z = 3\textrm{e}^{-x^2/2} y\), , on obtient

\(z' = 3\textrm{e}^{-x^2/2}\)

On ne peut pas exprimer de primitive de cette fonction comme combinaison de fonctions élémentaires ; on écrira donc la solution sous la forme

\(\displaystyle{y = 3\textrm{e}^{x^2/2} \in t_0^ x\textrm{e}^{-t^2/2} \textrm{d}t}\).

Remarque

Lorsqu'on a affaire à une équation à coefficient variable avec second membre \(y' = a(x) y + b(x)\), la forme de la fonction \(b(x)\) ne nous indique pas sous quelle forme chercher une solution particulière. Les méthodes utilisées lorsque `a` est une constante (si \(b(x)\) est un polynôme, chercher une solution polynomiale, etc.) ne marchent pas si \(a(x)\) n'est pas une constante. On n'a guère d'autre choix que d'utiliser la méthode de variation des constantes.