Changements de variables dans les équations différentielles

Lorsqu'on cherche à résoudre une équation différentielle de la forme \(y' = f(x, y)\), mais qui n'est pas d'un des types dont on a appris à calculer les solutions, on peut essayer de se ramener à une équation connue en effectuant un changement de fonction inconnue (le mot "changement de variable" est un peu trompeur).

On pose \(\displaystyle{y(x) = h(z(x))}\), (soit \(y = h \circ z\)), où \(h\) une fonction dérivable ; la dérivation des fonctions composées donne \(\displaystyle{y'(x) = h'(z(x)) z'(x)}\).

En remplaçant dans l'équation initiale, on trouve une équation contenant \(x\), \(z\) et  \(z'\):

\(\displaystyle{z'h'(z) = f(x, h(z))}\)

c'est-à-dire une équation différentielle en la fonction inconnue \(z(x)\). Si \(h'(z)\) ne s'annule pas, on obtient l'équation

\(\displaystyle{z'' = f(x, h(z))/h'(z)}\)

Si on a bien choisi la fonction \(h\) on peut parfois obtenir une équation en \(z\) qu'on sait résoudre. Si \(v(x)\) est une solution de cette dernière équation, la fonction \(u(x) = h(v(x))\) est solution de l'équation initiale.

Il n'y a pas de méthode générale pour trouver une telle fonction \(h\), on ne peut que donner quelques exemples.

ExempleExemple 1

Cherchons à résoudre l'équation, définie pour \(y > 0\),

\(\displaystyle{y' = y \textrm{ln}(y)}\) (1)

Cette équation n'est pas très agréable à résoudre en tant qu'équation autonome. Mais puisque les fonctions cherchées doivent être à valeurs positives, on peut poser \(\displaystyle{y(x) = \textrm{e}^{z(x)}}\). On a alors\(\displaystyle{\textrm{ln}(y) = z}\), et \(y' = \textrm{e}^{z} z\). On peut donc écrire \(\displaystyle{\textrm{e}^{z} z' = \textrm{e}^{z} z}\), soit encore \(z' = z\).

Les solutions de cette dernière équation sont \(\displaystyle{z = A \textrm{e}^x}\).

En remplaçant \(y\) par \(\displaystyle{\textrm{e}^z}\), on trouve que les solutions de (1) sont les fonctions \(\displaystyle{u(x) = \textrm{exp}(A \textrm{e}^x)}\). On vérifie qu'elles sont bien à valeurs positives.

ExempleExemple 2 :

Revenons à l'exemple (voir introduction) d'une population de punaises d'eau vivant en une colonie en forme de disque. On suppose que le taux de croissance naturelle est égal à un réel \(a > 0\), mais que les punaises vivant à la périphérie ont un taux de mortalité supplémentaire (dû par exemple au froid).

Si \(y(t)\) est la population à l'instant \(t\), l'effectif de celles vivant à la périphérie est proportionnel à \(y(t)^{1/2}\). Cela nous conduit à une équation différentielle du type

\(\displaystyle{y' = a y - b y^{1/2}}\) (1)

La fonction \(y = 0\) est solution (population toujours nulle) ; la fonction constante \(\displaystyle{y = (b/a)^2}\) est aussi solution.Cherchons les autres.

L'équation (1) est autonome, mais pas facile à résoudre telle quelle. Mais, puisque la fonction \(y(t)\) que nous cherchons est à valeurs positives et que c'est \(y^{1/2}\) qui nous ennuie, on peut essayer de poser

\(\displaystyle{z = y^{1/2}}\),

d'où \(y(t) = z(t)^2\) (avec \(z > 0\)), et donc \(y' = 2 zz'\).

En remplaçant dans (1), on trouve \(\displaystyle{2 zz' = a z^2 - b z}\). On en cherche les solutions positives, qui vérifient donc

\(\displaystyle{z' = (a/2)z - b/2}\) (2)

Celle là est facile à résoudre, car elle est linéaire.

La solution générale de l'équation homogène est \(\displaystyle{v(t) = C \textrm{e}^{ (a/2)t}}\), et la fonction constante \(v = b/a\) est une solution particulière. La solution générale de (2) est donc \(\displaystyle{v(t) = C \textrm{e}^{(a/2)t} + b/a}\).

Si \(C > 0\), \(v(t)\) est toujours positif, donc \(v^2 (t)\) est solution de (1) pour tout \(t\) réel.

Si \(C\) est négatif, ce n'est que sur l'intervalle où \(v(t)\) est positif, c'est-à-dire sur \(]- \infty , t_C[\) (avec \(\displaystyle{t_C = (2/a) \textrm{ln} (- b/a C)}\)) que la fonction \(u = v^2\) est solution de (1). Mais si l'on prolonge cette fonction \(u\) en posant \(u(t) = 0\) si \(t \ge q t_C\) , \(u(t)\) reste une solution de (1). Finalement, les solutions de (1) sont :

\(\displaystyle{u(t) = (C \textrm{e}^{ (a/2)t} + b/a)^ 2}\) avec \(C > 0\),

\(\displaystyle{u(t) = (C \textrm{e}^{(a/2)t} + b/a)^2}\) si \(t < t_C\), \(u(t) = 0 \) si \(t \ge q t_C\) avec \(C < 0\) .

Les fonctions constantes \(u(t) = 0\) et \(u(t) = (b/a) ^2\).

Si l'effectif de départ est supérieur à \((b/a)^2\), la population croîtra indéfiniment; si il est inférieur à \((b/a)^2\), la population s'éteindra en un temps fini \(\displaystyle{t_C = (2/a) \textrm{ln} (- b/{aC})}\). Si il vaut exactement \((b/a)^2\), la population restera constante.

Remarque

La fonction constante \(u = 0\) est une solution de (1) ; le fait que certaines solutions s'annulent en un temps fini, et rejoignent donc la solution nulle, ne contredit pas le théorème d'unicité de Cauchy-Lipschitz, car la fonction \(\displaystyle{a y - b y^{1/2}}\) n'est pas dérivable en \(y = 0\).

La figure ci-dessous montre les solutions de (1). On voit sur ce dessin que l'équilibre \(y = (b/a)^2\), est instable.

Solutions de l'équation différentielle y'=y-y^(1/2)