Exemple 1 : Le R-espace vectoriel R2
Définition : Définition de l'ensemble
Le produit cartésien \(\mathbb R \times\mathbb R\) est noté \(\mathbb R^2\). C'est l'ensemble des couples \((x, y)\) avec \(x\) élément de \(\mathbb R\) et \(y\) élément de \(\mathbb R\) Ceci s'écrit :
\(\mathbb R^2 := \{(x,y); x \in \mathbb R, y \in \mathbb R\}\)
Remarque :
l'écriture \((x, y)\) traduit traduit un ordre sur les éléments \(x\) et \(y\); \(x\) est la première composante du couple \((x, y)\), \(y\) est la seconde. Donc, si \(x\) est différent de \(y\), le couple \((x, y)\) est différent du couple \((y, x)\).
Définition : Définition de la loi interne
Si \((x, y)\) et \((x', y')\) sont deux éléments de \(\mathbb R^2\),
\((x,y) + (x', y') := (x + x' , y + y')\)
Définition : Définition de la loi externe
Si \(\alpha\) est un réel, et \((x, y)\) un élément de \(\mathbb R^2\)
\(\alpha(x,y) := (\alpha x , \alpha y)\)
Complément : Elément neutre de la loi interne
C'est le couple \((0, 0)\), où 0 désigne le zéro de \(\mathbb R\)
Complément : Symétrique d'un élément
Le symétrique de \((x, y)\) est le couple \((-x, -y)\)