Exemple 4 : le R-espace vectoriel des suites réelles
Définition : Définition de l'ensemble
Ensemble des suites réelles, noté \(S = F(\mathbb N, \mathbb R)\),
c'est l'ensemble des applications de \(\mathbb N\) dans \(\mathbb R\).
Définition : Définition de la loi interne
Soient \(U = (U_n )_{n \in \mathbb N}\) et \(V = (V_n )_{n \in \mathbb N}\) deux éléments de \(S\), \(U + V\) est la suite \(W = (W_n)_{n \in \mathbb N}\) définie par :
\(\forall n \in \mathbb N, W_n := U_n + V_n\)
où + désigne l'addition dans \(\mathbb R\).
Définition : Définition de la loi externe
De même, si \(\alpha\) est un nombre réel et \(U = (U_n )_{n \in \mathbb N}\) un élément de \(S\), \(\alpha U\) est la suite \((T_n )_{n \in \mathbb N}\), définie par :
\(\forall n \in \mathbb N, T_n := \alpha \times U_n\)
où \(\times\) désigne la multiplication dans \(\mathbb R\).
Complément : Elément neutre de la loi interne
C'est la suite réelle dont tous les termes sont nuls, c'est-à-dire la suite \(O = (O_n)_{n \in \mathbb N}\) définie par :
\(\forall n \in \mathbb N, O_n := 0\)
Complément : Symétrique d'un élément
C'est la suite réelle \(U' = (U'_n)_{n \in \mathbb N}\) définie par :
\(\forall n \in \mathbb N, U'_n = -U_n\)
Elle est notée \(-U\).