Exemple 5 : le R-espace vectoriel des fonctions polynômes réelles
Définition : Définition de l'ensemble
Une fonction polynôme sur \(\mathbb R\) est une fonction \(f\) de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) telle qu'il existe un entier \(k\), et éléments \(a_0, a_1, ... , a_k\) de \(\mathbb R\) tels que :
\(\forall x \in \mathbb R, f(x) := a_0 + a_1 x + ... + a_k x^k\)
On note \(P\) l'ensemble des fonctions polynômes sur \(\mathbb R\).
Définition : Définition des lois
La définition de la loi interne et de la loi externe est la même que dans l'exemple 3\((F(\mathbb R,\mathbb R))\).
Complément : Elément neutre de la loi interne
C'est la fonction nulle, définie dans l'exemple 3\((F(\mathbb R,\mathbb R))\), qui est la fonction polynôme pour laquelle tous les coefficients \(a_i\) sont nuls.
Complément : Symétrique d'un élément f de P
C'est l'application \(-f\) définie dans l'exemple 3\((F(\mathbb R,\mathbb R))\).
Si \(f\) est définie par les coefficients \(a_i\) :
\(\forall x \in \mathbb R, f(x) := a_0 + a_1x + ... + a_k x^k\)
\(-f\) est la fonction polynôme définie par les coefficients \(-a_i\) :
\(\forall x \in \mathbb R, (-f)(x) := -a_0 -a_1x - ... - a_k x^k\)
Remarque : Remarque importante : attention
Soit \(E_2\) l'ensemble des applications de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) de la forme : \(x \mapsto a_0 + a_1x + a_2x^2\) avec \(a_2\) non nul.
La somme, au sens de l'exemple 3\((F(\mathbb R,\mathbb R))\), de deux éléments de \(E_2\) peut ne pas être un élément de \(E_2\).
Par exemple soit \(f\) et \(g\) deux éléments de \(E_2\) définis respectivement par :
\(f : x \mapsto 2 + x + 3 x^2\)
\(g : x \mapsto 1 + 2x - 3 x^2\)
Alors, la fonction \(f+g\) est la fonction \(x \mapsto 3 + 3x\) qui n'appartient pas à \(E_2\) (le coefficient de \(x_2\) est nul). On ne peut donc pas définir sur l'ensemble \(E_2\) une structure d'espace vectoriel avec les lois de l'exemple 3\((F(\mathbb R,\mathbb R))\).