Généralités

L'ensemble \(\mathbb R\) des nombres réels peut être muni d'une structure de \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel de la manière suivante :

Soient \(v\) et \(w\) deux réels. Il faut donner un sens à \(v + w\) ; ce doit être un élément de \(\mathbb R\). Il est donc naturel de le définir comme la somme au sens usuel de \(\mathbb R\) des deux réels \(v\) et \(w\) soit :

\(\mathbb R \times \mathbb R \to \mathbb R\)

\((v,w) \mapsto v + w\)

où + désigne l'addition dans \(\mathbb R\).

Ici \(\mathbb R\) joue à la fois le rôle de corps des scalaires et d'ensemble des vecteurs ; pour distinguer ces deux rôles, notons \(\mathbb R\), considéré comme ensemble de scalaires, et \(\mathfrak R\), considéré comme ensemble de vecteurs. Si \(\alpha\) est un nombre réel et \(v\) un élément de \(\mathfrak R\), \(\alpha v\) doit être un élément de  \(\mathfrak R\). Il est donc naturel de définir la loi externe de la manière suivante :

\(\mathbb R \times \mathfrak R \to \mathfrak R\)

\((\alpha,v) \mapsto \alpha \times v\)

où \(\times\) désigne la multiplication dans \(\mathbb R\).

L'ensemble \(\mathbb C\) des nombres complexes peut être aussi muni naturellement d'une structure de \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel de la façon qui suit.

Soient \(v\) et \(w\) deux nombres complexes. La loi interne est définie naturellement comme précédemment par :

\(\mathbb C \times \mathbb C \to \mathbb C\)

\((v, w) \mapsto v + w\)

où + désigne l'addition dans \(\mathbb R\).

De même, si \(\alpha\) est un nombre réel et \(v\) un élément de \(\mathbb C\), \(\alpha v\) doit être un élément de \(\mathbb C\). Il est donc naturel de définir la loi externe de la manière suivante (\(\mathbb R\) considéré comme corps des scalaires) :

\(\mathbb R \times \mathbb C \to \mathbb C\)

\((\alpha,v) \mapsto \alpha v\)

\(\alpha v\) désignant la multiplication de \(\alpha\) par \(v\) dans le corps des nombres complexes \(\mathbb C\).