Le vecteur \(u=(x,y,z)\) de \(\mathbb R^3\) appartient à \(F\) si et seulement si \(y=z=0\), donc un élément \(u\) de \(\mathbb R^3\) appartient à \(F\) si et seulement si il existe un réel \(x\) tel que \(u=(x,0,0)\), donc si et seulement si \(u\) est colinéaire au vecteur \(f=(1,0,0)\).
Donc \((f)\) est une base de \(F\) et \(\textrm{dim }F=1\).
Le vecteur \(u=(x,y,z)\) de \(\mathbb R^3\) appartient à \(G\) si et seulement si \(x+z=y\), donc un élément \(u\) de \(\mathbb R^3\) appartient à \(G\) si et seulement si il existe des réels \(x\) et \(z\) tels que \(u=(x,x+z,z)\),
ce qui équivaut à \(u=x(1,1,0)+z(0,1,1)\).
Soient \(g_1=(1,1,0)\) et \(g_2=(0,1,1)\), les vecteurs \(g_1\) et \(g_2\) constituent une famille génératrice de \(G\), ils ne sont pas colinéaires donc ils déterminent une base de \(G\), d'où \(\textrm{dim }G=2\).
Soit \(u=(x,y,z)\) un élément appartenant à \(F\cap G\), donc les composantes \(x\), \(y\) et \(z\) vérifient à la fois \(y=z=0\) et \(x+z=y\), donc \(x=y=z=0\), d'où \(u=(0,0,0)\).
Donc la somme \(F+G\) est directe, d'où \(\textrm{dim }(F+G)=\textrm{dim }F+\textrm{dim }G=3\).
Comme on a \(F+G\subset\mathbb R^3\) et \(\textrm{dim }(F+G)=\textrm{dim }\mathbb R^3\), on peut conclure que \(F+G=\mathbb R^3\)
et comme la somme de \(F\) et \(G\) est directe, \(F\) et \(G\) sont bien supplémentaires.