Espace vectoriel de type fini

On vérifie que \(G\) est contenu dans \(F\), pour cela il suffit de vérifier que \(c\) et \(d\) sont dans \(F\) puisque \(G\) est le plus petit sous-espace vectoriel contenant \(c\) et \(d\) (on peut dire aussi que tout autre élément de \(G\) est une combinaison linéaire de \(c\) et \(d\) donc appartient à tout sous-espace vectoriel contenant \(c\) et \(d\)).

Le vecteur \(c=(4,0,-1,2)\) appartient à \(F\) si et seulement si il existe deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(c=\alpha a+\beta b\), c'est-à-dire \((4,0,-1,2)=\alpha(0,-2,1,0)+\beta(2,-1,0,1)\), ce qui équivaut à \((4,0,-1,2)=(2\beta,-2\alpha-\beta,\alpha,\beta)\).

\(\alpha=-1\) et \(\beta=2\) vérifient bien cette égalité donc \(c\) appartient à \(F\).

Le vecteur \(d=(2,3,-2,1)\) appartient à \(F\) si et seulement si il existe deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(d=\alpha a+\beta b\), c'est-à-dire \((2,3,-2,1)=\alpha(0,-2,1,0)+\beta(2,-1,0,1)\),

ce qui équivaut à \((2,3,-2,1)=(2\beta,-2\alpha-\beta,\alpha,\beta)\).

\(\alpha=-2\) et \(\beta=1\) vérifient bien cette égalité donc \(c\) appartient à \(F\).

Donc \(G\) est bien contenu dans \(F\).

On étudie les dimensions de \(F\) et de \(G\).

Les vecteurs \(a\) et \(b\) sont non colinéaires, donc \((a,b)\) est une base de \(F\) ; de même \((c,d)\) est une base de \(G\), ceci prouve que \(F\) et \(G\) ont la même dimension (égale à \(2\)), donc d'après le résultat suivant : "deux sous-espaces sont égaux si et seulement si l'un est contenu dans l'autre et leurs dimensions sont égales", on peut conclure que \(F\) et \(G\) sont égaux.

De même \(H\) est de dimension \(2\), il suffit donc de vérifier si \(H\) est contenu ou non dans \(F\) pour savoir si \(F\) et \(H\) sont égaux.

Le vecteur \(u=(1,1,1,1)\) appartient à \(F\) si et seulement si il existe deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(u=\alpha a+\beta b\), c'est-à-dire \((1,1,1,1)=\alpha(0,-2,1,0)+\beta(2,-1,0,1)\), ce qui équivaut à \((1,1,1,1)=(2\beta,-2\alpha-\beta,\alpha,\beta)\).

L'égalité des premières et dernières composantes entraîne \(2\beta=1\) et \(\beta=1\), ce qui est impossible, donc \(u\) n'appartient pas à \(F\).

Les sous-espaces \(F\) et \(H\) ne sont pas égaux.

D'après le cours, la réunion d'une partie génératrice de \(F\) et d'une partie génératrice de \(H\) est une partie génératrice de \(F+H\), \(F+H\) admet donc \(\{a,b,u,v\}\) comme partie génératrice. On cherche si cette partie est libre.

Chercher les quadruplets \((\alpha,\beta,\gamma,\delta)\) de \(\mathbb R^4\) qui vérifient l'égalité \(\alpha a+\beta b+\gamma u+\delta v=0\), revient à résoudre un système \((S)\).

Résolution de \((S)\) :

Soient \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) et \(\delta\) quatre réels vérifiant l'égalité \(\alpha a+\beta b+\gamma u+\delta v=0\), c'est-à-dire

\(\alpha(0,-2,1,0)+\beta(2,-1,0,1)+\gamma(1,1,1,1)+\delta(1,2,-3,0)=0\)

soit \((2\beta+\gamma+\delta,-2\alpha-\beta+\gamma+2\delta,\alpha+\gamma-3\delta,\beta+\gamma)=(0,0,0,0)\)

Le quadruplet \((\alpha,\beta,\gamma,\delta)\) est solution du système \((S)\) suivant :

\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrcl}&&2\beta&+&\gamma&+&\delta&=&0\\-2\alpha&-&\beta&+&\gamma&+&2\delta&=&0\\\alpha&&&+&\gamma&-&3\delta&=&0\\&&\beta&+&\gamma&&&=&0\end{array}\right.\)

équivalent à

\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrcll}\alpha&&&+&\gamma&-&3\delta&=&0&L_1\leftarrow L_3\\-2\alpha&-&\beta&+&\gamma&+&2\delta&=&0&\\&&2\beta&+&\gamma&+&\delta&=&0&L_3\leftarrow L_1\\&&\beta&+&\gamma&&&=&0&\end{array}\right.\)

équivalent à

\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrcll}\alpha&&&+&\gamma&-&3\delta&=&0&\\&-&\beta&+&3\gamma&-&4\delta&=&0&L_2\leftarrow L_2+2L_1\\&&2\beta&+&\gamma&+&\delta&=&0&\\&&\beta&+&\gamma&&&=&0&\end{array}\right.\)

équivalent à

\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrcll}\alpha&&&+&\gamma&-&3\delta&=&0&\\&-&\beta&+&3\gamma&-&4\delta&=&0&\\&&&&7\gamma&-&7\delta&=&0&L_3\leftarrow L_3+2L_2\\&&&&4\gamma&-&4\delta&=&0&L_4\leftarrow L_4+L_2\end{array}\right.\)

D'où : \(\gamma=\delta\), \(\beta=-\delta\) et \(\alpha=2\delta\).

L'ensemble des solutions du système \((S)\) est l'ensemble des quadruplets \((2\delta,-\delta,\delta,\delta)\).

Les quadruplets \((\alpha,\beta,\gamma,\delta)\) de \(\mathbb R^4\) qui vérifient l'égalité \(\alpha a+\beta b+\gamma u+\delta v=0\) sont ceux qui vérifient les conditions \(\alpha=2\delta\), \(\beta=-\delta\) et \(\gamma=\delta\).

En particulier pour \(\delta=1\), on a la relation : \(2a-b+u+v=0\) ; la partie \(\{a,b,u,v\}\) n'est pas libre.

Il est immédiat de vérifier que la partie \(\{a,b,u\}\) est libre, en effet, chercher trois réels \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) vérifiant l'égalité \(\alpha a+\beta b+\gamma u=0\) revient à chercher quatre réels \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) et \(\delta\), avec \(\delta=0\), vérifiant l'égalité \(\alpha a+\beta b+\gamma u+\delta v=0\).

L'étude précédente montre que si \(\delta=0\), cela entraîne \(\alpha=\beta=\gamma=0\).

La partie \(\{a,b,u\}\) est donc une partie libre maximale extraite de la partie génératrice \(\{a,b,u,v\}\) de \(F+H\), donc \((a,b,u)\) est une base de \(F+H\), ainsi \(\textrm{dim }(F+H)=3\).

Puisque la dimension de \(\mathbb R^4\) est \(4\), le sous-espace \(F+H\) n'est pas égal à \(\mathbb R^4\), donc \(F\) et \(H\) ne sont pas des sous-espaces supplémentaires.

De plus la relation \(\textrm{dim }(F+H)=\textrm{dim }F+\textrm{dim }H-\textrm{dim }(F\cap H)\) entraîne : \(\textrm{dim }(F\cap H)=1\).