Infinité de supplémentaires d'un sous-espace

Partie

Question

Soient un \mathbf K\textrm{-espace} vectoriel de dimension n, \mathbf K étant un corps infini (par exemple \mathbb R ou \mathbb C),

F et G deux sous-espaces de E supplémentaires, F de dimension p et G de dimension q (avec p\ge1, q\ge1).

Soient B_F=(f_1,f_2,\ldots,f_p) une base de F, et B_G=(g_1,g_2,\ldots,g_q), une base de G.

Soit a un élément non nul de F.

  1. Montrer que (f_1,f_2,\ldots,f_p,g_1+a,g_2+a,\ldots,g_q+a) est une base de E.

  2. En déduire que le sous-espace vectoriel G_a de E engendré par la famille \{g_1+a,g_2+a,\ldots,g_q+a\} est un supplémentaire de F, distinct de G.

  3. Montrer que F a une infinité de supplémentaires.