Soient p+q scalaires \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_p,\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_q, vérifiant l'égalité
\alpha_1f_1+\alpha_2f_2+\cdots+\alpha_pf_p+\beta_1(g_1+a)+\cdots+\beta_2(g_2+a)+\cdots+\beta_q(g_q+a)=0
Il résulte de cette égalité que
\alpha_1f_1+\alpha_2f_2+\cdots+\alpha_pf_p+(\beta_1+\beta_2+\cdots+\beta_q)a=-\beta_1g_1-\beta_2g_2-\cdots-\beta_qg_q
Puisque les f_k (1\le k\le p) et a sont dans F,
le vecteur u=\alpha_1f_1+\alpha_2f_2+\cdots+\alpha_pf_p+(\beta_1+\beta_2+\cdots+\beta_q)a appartient à F,
mais comme les g_k (1\le k\leq q) sont dans G, le vecteur u=-\beta_1g_1-\beta_2g_2-\cdots-\beta_qg_q appartient aussi à G, donc u appartient à F\cap G, or F\cap G=\{0\}, donc u=0.
On en déduit d'abord, (puisque B_G est une base de G), que les \beta_k, 1\le k\leq q, sont tous nuls, ensuite, (puisque B_F est une base de F), que les \alpha_k, 1\le k\le p, sont nuls aussi.
Donc la partie \{f_1,f_2,\ldots,f_p,g_1+a,g_2+a,\ldots,g_q+a\} est une partie libre de E, ayant p+q éléments.
Or p+q=\textrm{dim }F+\textrm{dim }G=\textrm{dim }(F\oplus G)=\textrm{dim }E car E=F\oplus G.
La partie \{f_1,f_2,\ldots,f_p,g_1+a,g_2+a,\ldots,g_q+a\} étant une partie libre maximale de E, détermine bien une base de E.
Soit G_a le sous-espace vectoriel de E engendré par la famille \{g_1+a,g_2+a,\ldots,g_q+a\}.
Comme \{g_1+a,g_2+a,\ldots,g_q+a\} est une partie extraite de la partie libre \{f_1,f_2,\ldots,f_p,g_1+a,g_2+a,\ldots,g_q+a\}, elle est libre, donc détermine une base de G_a.
Or \{f_1,f_2,\ldots,f_p,g_1+a,g_2+a,\ldots,g_q+a\} est une partie génératrice de F+G_a; donc la somme F+G_a est directe d'après la proposition suivante :
Si B_A=(a_1,a_2,\ldots,a_p) est une base de A et B_C=(c_1,c_2,\ldots,c_q) une base de C, la somme des deux sous-espaces A et C est directe si et seulement (a_1,a_2,...,a_p,c_1,c_2,...,c_p) est une base de A+C.
Mais d'après la question 1., (f_1,f_2,...,f_p,g_1+a,g_2+a,...,g_p+a) est une base de E, donc E=F\oplus G_a.
G_a est bien un supplémentaire de F.
Pour montrer que le sous-espace G_a est bien distinct de G, il suffit de remarquer que le vecteur g_1+a appartient à G_a, mais n'appartient pas à G.
En effet, si le vecteur g_1+a appartenait à G, le vecteur a=(g_1+a)-g_1 appartiendrait aussi à G comme différence de deux éléments de G, le vecteur a, non nul, appartiendrait alors à F\cap G or F\cap G=\{0\}, ce qui est contradictoire.
Dans la question 2., on a construit un supplémentaire G_a de F, distinct de G. En choisissant un autre élément non nul de F, appelé b, on peut aussi construire un supplémentaire de F, distinct de G.
Pour montrer que G_a est distinct de G_b, on utilise la même méthode que celle utilisée dans la question 2. : le vecteur g_1+b appartient à G_b, mais n'appartient pas à G_a.
En effet, si le vecteur g_1+b appartenait à G_a, le vecteur b-a=(g_1+b)-(g_1+a) appartiendrait
aussi à G_a comme différence de deux éléments de G_a, ce qui est absurde puisque le vecteur b-a, non nul, appartiendrait à F\cap G_a et que F\cap G_a=\{0\}.
Donc des éléments distincts de F permettent de construire des supplémentaires distincts de F.
Le sous-espace F a une infinité d'éléments : en effet \mathbf K a un nombre infini d'éléments et si les scalaires \alpha et \beta sont distincts, les vecteurs \alpha a et \beta a le sont aussi car a est non nul.
On en déduit que le sous-espace F a une infinité de supplémentaires.