Dimension de sous-espaces vectoriels de l'espace des fonctions polynômes réelles
Partie
Question
Soit \(n\) un entier strictement supérieur à \(2\), soit \(E\) l'espace vectoriel des fonctions polynômes réelles de degré inférieur ou égal à \(n\), et soient \(F\) et \(G\) les sous-espaces vectoriels de \(E\) suivants :
\(F=\{p\in E,p(0)=0\}\)
\(G=\{p\in E,p(1)=0\}\)
Déterminer les dimensions de \(F\), de \(G\), de \(F+G\), de \(F\cap G\).
Aide simple
Considérer une fonction polynôme de \(F\) ou de \(G\) : \(p:x\mapsto a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\)
et trouver des relations entre les \(a_k\), \(0\le k\le n\), pour en déduire une partie génératrice de \(F\) ou de \(G\).
Aide méthodologique
Pour déterminer les dimensions de \(F\) et de \(G\), chercher des bases de ces sous-espaces.
Pour les dimensions de \(F+G\) et \(F\cup G\), utiliser des inclusions entre sous-espaces et les différents résultats faisant intervenir la notion de dimension.
Aide à la lecture
Les vecteurs de \(E\) sont des fonctions.
Solution détaillée
On cherche une base de \(F\).
Pour cela on caractérise les éléments de \(F\) : \(p\in F\Leftrightarrow(p\in E \textrm{ et }p(0)=0)\). Or \(p\) appartient à \(E\) si et seulement si : \(\exists(a_0,a_1,\ldots,a_n)\in\mathbb R^{n+1},\forall x\in\mathbb R,p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\).
De plus, \(p(0)=0\) si et seulement si \(a_0\) est nul.
D'où \(p\in F\Leftrightarrow\exists(a_1,a_2,\ldots,a_n)\in\mathbb R^n,\forall x\in\mathbb R,p(x)=a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n\).
En considérant la base canonique \((e_0,e_1,\ldots,e_n)\) de \(E\) : \(e_k :x\mapsto x^k\), \(\forall k\in\mathbb N\), \(0\le k\le n\),
on peut donc écrire : \(p\in F\Leftrightarrow\exists(a_1,a_2,\ldots,a_n)\in\mathbb R^n,p=a_1e_1+a_2e_2+\cdots+a_ne_n\).
La partie \(\{e_1,e_2,\ldots,e_n\}\) engendre donc \(F\).
Elle est libre car elle est contenue dans la partie libre \(\{e_0,e_1,\ldots,e_n\}\), donc \((e_1,e_2,\ldots,e_n)\) est une base de \(F\). D'où \(\textrm{dim }F=n\).
De même, on caractérise les éléments de \(G\) : \(p\in G\Leftrightarrow(p\in E\textrm{ et }p(1)=0)\).
Or \(p\) appartient à \(E\) si et seulement si :
\(\exists(a_0,a_1,\ldots,a_n)\in\mathbb R^{n+1},\forall x\in\mathbb R,p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\).
De plus, \(p(1)=0\) si et seulement si \(p(1)=a_0+a_1+\cdots+a_n=0\), d'où
\(p\in G\Leftrightarrow\exists(a_1,a_2,\ldots,a_n)\in\mathbb R^n,\forall x\in\mathbb R,p(x)=(-a_1-a_2-\cdots-a_n)+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n\)
donc \(p\in G\Leftrightarrow\exists(a_1,a_2,\ldots,a_n)\in\mathbb R^n,\forall x\in\mathbb R,p(x)=a_1(x-1)+a_2(x^2-1)+\cdots+a_n(x^n-1)\)
ainsi \(p\in G\Leftrightarrow\exists(a_1,a_2,\ldots,a_n)\in\mathbb R^n,p=a_1(e_1-e_0)+a_2(e_2-e_0)+\cdots+a_n(e_n-e_0)\)
La partie \(\{e_1-e_0,e_2-e_0,\ldots,e_n-e_0\}\) est une partie génératrice de \(G\), c'est aussi une partie libre.
Démonstration :
Soient \(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\) des réels vérifiant \(\alpha_1(e_1-e_0)+\alpha_2(e_2-e_0)+\cdots+\alpha_n(e_n-e_0)=0\),
cela entraîne \((-\alpha_1-\alpha_2-\cdots-\alpha_n)e_0+\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\cdots+\alpha_ne_n=0\).
La partie \(\{e_0,e_1,\ldots,e_n\}\) étant libre, cela entraîne \(\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_n=0\).
Donc \((e_1-e_0,e_2-e_0,\ldots,e_n-e_0)\) est une base de \(G\), d'où \(\textrm{dim }G=n\).
Remarque :
\(F\) et \(G\) sont des hyperplans (en effet, \(\textrm{dim }E=n+1\), voir les ressources "Notion de base" et "Dimension d'un espace vectoriel de type fini").
On détermine la dimension de \(F+G\). On a les inclusions suivantes : \(F\subset F+G\subset E\).
D'où \(\textrm{dim }F\le\textrm{dim }(F+G)\le\textrm{dim }E\).
Or le vecteur \(e_1-e_0\), qui appartient à \(G\), donc à \(F+G\), n'appartient pas à \(F\) : en effet \((e_1-e_0)(0)=-1\) .
Donc \(F+G\) contient strictement \(F\), donc \(\textrm{dim }F<\textrm{dim }(F+G)\le\textrm{dim }E\).
Or \(\textrm{dim }F=n\) et \(\textrm{dim }E=n+1\),
la seule possibilité est donc \(\textrm{dim }(F+G)=n+1\) (ce qui entraîne \(F+G=E\)).
On détermine la dimension de \(F\cap G\).
Pour cela on se sert du résultat : \(\textrm{dim }(F\cap G)=\textrm{dim }F+\textrm{dim }G-\textrm{dim }(F+G)=n+n-(n+1)\).
Donc \(\textrm{dim }(F\cap G)=n-1\).