Dimension de sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel quelconque
Partie
Question
Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel de dimension \(n\), \((n\ge2)\), \(H\) un hyperplan de \(E\), et \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\) non contenu dans \(H\) et de dimension \(p\).
Calculer la dimension de \(F\cap H\).
Aide simple
Remarquer que \(F+H\) contient strictement \(H\), et en déduire la dimension de \(F+H\).
Aide méthodologique
Pour déterminer la dimension de \(F\cap H\), il suffit de déterminer la dimension de \(F+H\),
et d'appliquer la relation : \(\textrm{dim }(F+H)=\textrm{dim }F+\textrm{dim }H-\textrm{dim }(F\cap H)\).
Aide à la lecture
Un hyperplan de \(E\) est un sous-espace vectoriel de dimension \(n-1\).
Solution détaillée
Puisque \(F\) n'est pas contenu dans \(H\), il existe un élément \(a\) de \(F\) qui n'appartient pas à \(H\).
Comme \(a\) appartient à \(F+H\), le sous-espace \(F+H\) contient donc strictement \(H\).
Donc la dimension de \(F+H\) est strictement supérieure à celle de \(H\) (qui est égale à \(n-1\)).
D'autre part \(F+H\) est contenu dans \(E\) de dimension \(n\).
Ces deux conditions entraînent que la dimension de \(F+H\) est \(n\) (donc \(F+H=E\)).
En appliquant la relation \(\textrm{dim }(F+H)=\textrm{dim }F+\textrm{dim }H-\textrm{dim }(F\cap H)\),
on obtient \(\textrm{dim }(F\cap H)=\textrm{dim }F+\textrm{dim }H-\textrm{dim }(F+H)=p+n-1-n\),
d'où \(\textrm{dim }(F\cap H)=p-1\).
Remarque :
Puisque \(F\) n'est pas contenu dans \(H\), \(F\) ne peut être réduit à l'élément nul, donc \(p\) est supérieur ou égal à \(1\).