Puisque \(F\) n'est pas contenu dans \(H\), il existe un élément \(a\) de \(F\) qui n'appartient pas à \(H\).
Comme \(a\) appartient à \(F+H\), le sous-espace \(F+H\) contient donc strictement \(H\).
Donc la dimension de \(F+H\) est strictement supérieure à celle de \(H\) (qui est égale à \(n-1\)).
D'autre part \(F+H\) est contenu dans \(E\) de dimension \(n\).
Ces deux conditions entraînent que la dimension de \(F+H\) est \(n\) (donc \(F+H=E\)).
En appliquant la relation \(\textrm{dim }(F+H)=\textrm{dim }F+\textrm{dim }H-\textrm{dim }(F\cap H)\),
on obtient \(\textrm{dim }(F\cap H)=\textrm{dim }F+\textrm{dim }H-\textrm{dim }(F+H)=p+n-1-n\),
d'où \(\textrm{dim }(F\cap H)=p-1\).