Application linéaire

Par définition \(\textrm{Ker(f)}\) est l'ensemble des vecteurs de \(\mathbb R^3\) dont l'image par \(f\) est nulle, c'est donc l'ensemble des \((x,y,z)\) tels que \((x-y,y-z)=(0,0)\), donc tels que \(x=y=z\). C'est donc l'ensemble des triplets dont les trois composantes sont égales.

On obtient : \(\mathrm{Ker}(f)=\{u\in\mathbb R^3,\exists x\in\mathbb R, u=(x,x,x)\}\).

Donc \(\mathrm{Ker}(f)\) est le sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^3\) engendré par le vecteur \((1,1,1)\).

D'après la caractérisation des applications linéaires injectives, une application linéaire est injective si et seulement si son noyau ne contient que le vecteur nul. Donc d'après la première question, l'application \(f\) n'est pas injective.

On démontre que \(f\) est surjective, c'est-à-dire qu'on démontre que tout élément de \(\mathbb R^2\) admet un antécédent par \(f\) :

Soit \((a,b)\) un élément de \(\mathbb R^2\), il s'agit de trouver un élément \((x,y,z)\) de \(\mathbb R^3\) dont l'image par \(f\) soit \((a,b)\), donc tel que \((a,b)=(x-y,y-z)\). Cela revient à résoudre le système suivant :

\(\left\{\begin{array}{rcrcrcll}&x&-&y&&&=&a\\&&&y&-&z&=&b\end{array}\right.\)

qui est équivalent à :

\(\left\{\begin{array}{rcrcrcl}y&=&b&+&z&&\\x&=&a&+&b&+&z\end{array}\right.\)

Donc \((a,b)\) admet comme antécédent n'importe quel vecteur de la forme \((a+b+z,b+z,z)\).

Par exemple pour \(z=0\), on obtient \((a,b)=f((a+b,b,0))\).